Esboce os gráficos das funções abaixo:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos esboçar o gráfico da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de Funções Racionais na Matemática. Para resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como interceptações com os eixos, assíntotas, e analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a função intercepta o eixo y. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o gráfico passa pelo ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a função intercepta o eixo x. Para isso, resolvemos
:
Portanto, o gráfico intercepta o eixo
no ponto
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas verticais e horizontais da função.
-
Assíntotas Verticais: São onde o denominador é zero (e o numerador não).Então, temos uma assíntota vertical em
. -
Assíntotas Horizontais: Analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Dividindo numerador e denominador por: Quandotende ao infinito, tende a zero, então: Portanto, a assíntota horizontal é.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função perto das assíntotas e quando
vai para
e
:
- Para
, se aproxima de 1. - Para
, também se aproxima de 1. - Perto da assíntota vertical
, a função tende a ou dependendo do lado pelo qual se aproxima.
Passo 6
Com todas as informações, podemos esboçar o gráfico:
- Plote o ponto
. - Plote o ponto
. - Desenhe a assíntota vertical em
. - Desenhe a assíntota horizontal em
. - Mostre que a função se aproxima de
tanto para positivo quanto negativo grande. - Indique que a função diverge para
ou perto da assíntota vertical.
Resposta
O gráfico da função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. Ele intercepta o eixo
no ponto
e o eixo
no ponto
. Conforme
tende ao infinito positivo ou negativo, a função se aproxima de 1. Próximo a
, a função cresce ou decresce sem limites, dependendo do lado pelo qual se aproxima. Com essas características, o esboço do gráfico segue essas diretrizes.
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