Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x)=(x^3-1)/(x^3+1)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos esboçar o gráfico da função . Isso está relacionado ao conteúdo de Funções Racionais na Matemática. Para resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como interceptações com os eixos, assíntotas, e analisar o comportamento da função quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a função intercepta o eixo y. Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, o gráfico passa pelo ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a função intercepta o eixo x. Para isso, resolvemos :
Portanto, o gráfico intercepta o eixo no ponto .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas verticais e horizontais da função.
  • Assíntotas Verticais: São onde o denominador é zero (e o numerador não).
    Então, temos uma assíntota vertical em .
  • Assíntotas Horizontais: Analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito.
    Dividindo numerador e denominador por :
    Quando tende ao infinito, tende a zero, então:
    Portanto, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função perto das assíntotas e quando vai para e :
  • Para , se aproxima de 1.
  • Para , também se aproxima de 1.
  • Perto da assíntota vertical , a função tende a ou dependendo do lado pelo qual se aproxima.

Passo 6

Com todas as informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Plote o ponto .
  2. Plote o ponto .
  3. Desenhe a assíntota vertical em .
  4. Desenhe a assíntota horizontal em .
  5. Mostre que a função se aproxima de tanto para positivo quanto negativo grande.
  6. Indique que a função diverge para ou perto da assíntota vertical.

Resposta

O gráfico da função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . Ele intercepta o eixo no ponto e o eixo no ponto . Conforme tende ao infinito positivo ou negativo, a função se aproxima de 1. Próximo a , a função cresce ou decresce sem limites, dependendo do lado pelo qual se aproxima. Com essas características, o esboço do gráfico segue essas diretrizes.

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