Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC x y z d s,
C: x=2 t, y=3 sen t, z=3 cos t, 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A gente precisa calcular a integral integralC x y z , ds, onde C é uma curva parametrizada por:
x = 2t, y = 3 sin t, z = 3 cos t, com 0 <= t <= pi2
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha em espaço tridimensional. Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e a fórmula para integrais de linha que envolve a derivada do vetor posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como parametrizar a curva. Já temos as equações que descrevem C em termos do parâmetro t. Isso é ótimo! A parametrização nos ajuda a transformar uma integral ao longo de uma curva em uma integral mais simples em relação ao t.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada do vetor posição r(t) em relação a t. A vetorização da curva C é:
r(t) = lang<= x(t), y(t), z(t) rang<= = lang<= 2t, 3 sin t, 3 cos t rang<=
Vamos derivar cada componente:
r'(t) = lang<= dxdt, dydt, dzdt rang<= = lang<= 2, 3 cos t, -3 sin t rang<=
Em seguida, calculamos o módulo dessa derivada, que é necessário para a integral de linha:
|r'(t)| = raiz2^2 + (3 cos t)^2 + (-3 sin t)^2 = raiz4 + 9 cos^2 t + 9 sin^2 t
Simplificando:
|r'(t)| = raiz4 + 9 (cos^2 t + sin^2 t) = raiz4 + 9 cdot 1 = raiz13
Porque cos^2 t + sin^2 t = 1.

Passo 4

Agora, vamos expressar a função dentro da integral, que é x y z, em termos de t usando a parametrização:
x y z = (2t)(3 sin t)(3 cos t) = 18 t sin t cos t
Então, a função que vamos integrar fica clara agora.

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula da integral de linha. A fórmula geral é:
integralC f(x, y, z) , ds = integrala^b f(r(t)) |r'(t)| , dt
Aplicando ao nosso caso:
integralC x y z , ds = integral0^pi2 18 t sin t cos t cdot raiz13 , dt
Podemos fatorar a constante raiz13 para fora da integral:
= 18 raiz13 integral0^pi2 t sin t cos t , dt

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral:
integral0^pi2 t sin t cos t , dt
Podemos usar a identidade sin 2t = 2 sin t cos t para simplificar:
= 12 integral0^pi2 t sin 2t , dt
Vamos resolver essa integral por integração por partes, onde:
u = t Rightarrow du = dt
dv = sin 2t , dt Rightarrow v = -12 cos 2t
Aplicando integração por partes:
integral t sin 2t , dt = -t2 cos 2t + 12 integral cos 2t , dt = -t2 cos 2t + 14 sin 2t + C
Avaliando de 0 a pi2:
[ -t2 cos 2t + 14 sin 2t ]0^pi2 = ( -pi4 cos pi + 14 sin pi ) - ( 0 + 0 ) = -pi4 (-1) + 0 = pi4
Voltando à nossa integral original:
12 cdot pi4 = pi8
Finalmente, multiplicamos pela constante que tiramos antes:
18 raiz13 cdot pi8 = 9 raiz13 pi4

Resposta

A integral de linha integralC x y z , ds vale boxeddfrac9 raiz13 pi4.

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x)=(x^3-1)/(x^3+1)
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC x^2 z d s,
C: x=sen 2 t, y=3 t, z=cos 2 t, 0 <= t <= pi / 4
Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x) = x - 3 ln(x) - 2/x
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC y z d y+x y d z, C: x=raizt, y=t, z=t^2, 0 <= t <= 1