Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A gente precisa calcular a integral
, onde
é uma curva parametrizada por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha em espaço tridimensional. Vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e a fórmula para integrais de linha que envolve a derivada do vetor posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como parametrizar a curva. Já temos as equações que descrevem
em termos do parâmetro
. Isso é ótimo! A parametrização nos ajuda a transformar uma integral ao longo de uma curva em uma integral mais simples em relação ao
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada do vetor posição
em relação a
. A vetorização da curva
é:
Vamos derivar cada componente:
Em seguida, calculamos o módulo dessa derivada, que é necessário para a integral de linha:
Simplificando:
Porque
.
Passo 4
Agora, vamos expressar a função dentro da integral, que é
, em termos de
usando a parametrização:
Então, a função que vamos integrar fica clara agora.
Passo 5
Substituímos tudo na fórmula da integral de linha. A fórmula geral é:
Aplicando ao nosso caso:
Podemos fatorar a constante
para fora da integral:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral:
Podemos usar a identidade
para simplificar:
Vamos resolver essa integral por integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliando de
a
:
Voltando à nossa integral original:
Finalmente, multiplicamos pela constante que tiramos antes:
Resposta
A integral de linha
vale
.
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Esboce os gráficos das funções abaixo:
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
,
Esboce os gráficos das funções abaixo:
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.