Esboce os gráficos das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A tarefa é esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender de que área da matemática estamos falando, que nesse caso é cálculo, mais especificamente análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar identificar o domínio da função, encontrar derivadas para analisar o comportamento da função, descobrir assíntotas e, por fim, juntar tudo isso para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
- O termo
só está definido para . - O termo
também está definido para .
Então, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada da função para entender onde ela está crescendo ou decrescendo. A derivada nos dá a taxa de variação da função.
Passo 4
Com a derivada em mãos, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Para resolver essa equação, vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Agora, fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são
e
. Esses são os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Passo 5
Vamos analisar o sinal da derivada entre os intervalos determinados pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para
:
Escolha: [
f’(0,5) = 1 - \frac{3}{0,5} + \frac{2}{(0,5)^2} = 1 - 6 + 8 = 3 > 0 \Rightarrow f(x) ) está crescendo. -
Para
:
Escolha: [
f’(1,5) = 1 - \frac{3}{1,5} + \frac{2}{(1,5)^2} \approx 1 - 2 + 0,89 = -0,11 < 0 \Rightarrow f(x) ) está decrescendo. -
Para
:
Escolha: [
f’(3) = 1 - \frac{3}{3} + \frac{2}{9} = 1 - 1 + 0,22 = 0,22 > 0 \Rightarrow f(x) ) está crescendo.
Passo 6
Vamos agora encontrar os pontos de mínimo e máximo locais usando os pontos críticos:
-
Em
:
A derivada muda de positiva para negativa, então temos um máximo local. -
Em
:
A derivada muda de negativa para positiva, então temos um mínimo local.
Vamos calcular os valores da função nesses pontos:
Passo 7
Agora, vamos identificar as assíntotas da função.
-
Assíntota vertical: Observamos o comportamento de
quando se aproxima de 0. Quando : Então,. Portanto, temos uma assíntota vertical em . -
Assíntota horizontal: Vamos analisar o limite quando
: Não há assíntota horizontal, a função cresce sem limites.
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico com todas as informações obtidas:
- O domínio é
. - Há uma assíntota vertical em
. - A função tem um máximo local em
e um mínimo local em . - A função está crescendo em
e , e decrescendo em . - Não há assíntota horizontal.
Com esses dados, podemos desenhar uma curva que começa próxima ao infinito quando
se aproxima de 0, desce até o máximo em
, desce ainda mais até o mínimo em
e, depois, volta a crescer para infinito quando
aumenta.
Resposta
O gráfico da função
apresenta uma assíntota vertical em
, um máximo local em
, um mínimo local em
, e cresce para
conforme
se afasta de 0 nas direções positivas. A função está crescendo no intervalo
e
, e decrescendo em
. Com base nisso, o esboço do gráfico segue essas características.
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é a curva dada.
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,
consiste nos segmentos de reta de
a
, de
a
, e de
a