Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x) = x - 3 ln(x) - 2/x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A tarefa é esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender de que área da matemática estamos falando, que nesse caso é cálculo, mais especificamente análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar identificar o domínio da função, encontrar derivadas para analisar o comportamento da função, descobrir assíntotas e, por fim, juntar tudo isso para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  • O termo só está definido para .
  • O termo também está definido para .
Então, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada da função para entender onde ela está crescendo ou decrescendo. A derivada nos dá a taxa de variação da função.

Passo 4

Com a derivada em mãos, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Para resolver essa equação, vamos multiplicar todos os termos por para eliminar os denominadores:
Agora, fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são e . Esses são os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 5

Vamos analisar o sinal da derivada entre os intervalos determinados pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para :
    Escolha :
    [
    f’(0,5) = 1 - \frac{3}{0,5} + \frac{2}{(0,5)^2} = 1 - 6 + 8 = 3 > 0 \Rightarrow f(x) ) está crescendo.
  • Para :
    Escolha :
    [
    f’(1,5) = 1 - \frac{3}{1,5} + \frac{2}{(1,5)^2} \approx 1 - 2 + 0,89 = -0,11 < 0 \Rightarrow f(x) ) está decrescendo.
  • Para :
    Escolha :
    [
    f’(3) = 1 - \frac{3}{3} + \frac{2}{9} = 1 - 1 + 0,22 = 0,22 > 0 \Rightarrow f(x) ) está crescendo.

Passo 6

Vamos agora encontrar os pontos de mínimo e máximo locais usando os pontos críticos:
  • Em :
    A derivada muda de positiva para negativa, então temos um máximo local.
  • Em :
    A derivada muda de negativa para positiva, então temos um mínimo local.
Vamos calcular os valores da função nesses pontos:

Passo 7

Agora, vamos identificar as assíntotas da função.
  • Assíntota vertical: Observamos o comportamento de quando se aproxima de 0. Quando :
    Então, . Portanto, temos uma assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal: Vamos analisar o limite quando :
    Não há assíntota horizontal, a função cresce sem limites.

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico com todas as informações obtidas:
  • O domínio é .
  • Há uma assíntota vertical em .
  • A função tem um máximo local em e um mínimo local em .
  • A função está crescendo em e , e decrescendo em .
  • Não há assíntota horizontal.
Com esses dados, podemos desenhar uma curva que começa próxima ao infinito quando se aproxima de 0, desce até o máximo em , desce ainda mais até o mínimo em e, depois, volta a crescer para infinito quando aumenta.

Resposta

O gráfico da função apresenta uma assíntota vertical em , um máximo local em , um mínimo local em , e cresce para conforme se afasta de 0 nas direções positivas. A função está crescendo no intervalo e , e decrescendo em . Com base nisso, o esboço do gráfico segue essas características.

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