Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral de linha! A questão pede para calcular a integral
onde a curva
é definida pelas equações paramétricas
,
e
, com
variando de 0 a 1. Para isso, vamos usar a parametrização da curva e substituir as variáveis na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar a curva. Aqui,
define a posição em cada ponto da curva
conforme
varia de 0 a 1. Precisamos expressar
e
em termos de
.
Passo 3
Calculando as derivadas em relação a
:
Agora, substituímos
,
,
,
e
na integral original:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 5
Calculando as integrais:
Somando os resultados:
Resposta
Exercícios relacionados
Esboce os gráficos das funções abaixo:
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
,
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
,
consiste nos segmentos de reta de
a
, de
a
, e de
a
a)
e
;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) .
b)
c)
d)
e)
f)