Calcule integral triplaB z d x d y d z, onde B é o conjunto z >= raizx^2+y^2, x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral tripla de sobre a região , onde é definido por e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A condição descreve um cilindro de raio 1 no plano . Já representa uma área acima de um cone que tem sua ponta na origem e se abre para cima.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
dV = r, dz, dr, dtheta

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como , em coordenadas cilíndricas temos . A condição fica . Como não há limite superior para especificado, mas geralmente consideramos até o topo da região, que nesse caso é quando o cone encontra o cilindro. Vamos encontrar esse ponto.

Passo 5

O cone 0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi, r <= z <= 1 e o cilindro se intersectam quando . Então, varia de até 1. Assim, nossos limites são:

Passo 6

Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaB z , dV = integral0^2pi integral0^1 integralr^1 z cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em integralr^1 z cdot r , dz = r [ z^22 ]r^1 = r ( 12 - r^22 ) = r2 (1 - r^2) :

Passo 8

Substituímos o resultado na integral e resolvemos em integral0^1 r2 (1 - r^2) , dr = 12 [ r^22 - r^44 ]0^1 = 12 ( 12 - 14 ) = 12 cdot 14 = 18 :

Passo 9

Finalmente, resolvemos a integral em integral0^2pi 18 , dtheta = 18 cdot 2pi = pi4 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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