Calcule
, onde
é o conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral tripla de
sobre a região
, onde
é definido por
e
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A condição
descreve um cilindro de raio 1 no plano
. Já
representa uma área acima de um cone que tem sua ponta na origem e se abre para cima.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como
, em coordenadas cilíndricas temos
. A condição
fica
. Como não há limite superior para
especificado, mas geralmente consideramos até o topo da região, que nesse caso é quando o cone encontra o cilindro. Vamos encontrar esse ponto.
Passo 5
O cone
e o cilindro
se intersectam quando
. Então,
varia de
até 1. Assim, nossos limites são:
Passo 6
Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 8
Substituímos o resultado na integral e resolvemos em
:
Passo 9
Finalmente, resolvemos a integral em
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.