Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada: integralC x^3 y^2 z d z cdot C: x=2 t, y=t^2, z=t^2, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo de integral de linha. A integral que queremos calcular é integralC x^3 y^2 z , dz, onde a curva C é parametrizada por x=2t, y=t^2 e z=t^2, com t variando de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar a teoria de integrais de linha em parametrizações. Precisaremos substituir as variáveis x, y e z pelas suas expressões em termos de t e também calcular dz/dt para fazer a substituição na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Essencialmente, é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. Quando a curva está parametrizada, como no nosso caso, podemos expressar a integral em termos do parâmetro t. A fórmula básica para transformar a integral de linha é:
integralC f(x, y, z) , dz = integrala^b f(x(t), y(t), z(t)) cdot dzdt , dt
Aqui, a e b são os limites do parâmetro t, que são 0 e 1 no nosso caso.

Passo 3

Vamos substituir as expressões parametrizadas na função f(x, y, z) = x^3 y^2 z. Sabendo que:
  • x = 2t
  • y = t^2
  • z = t^2
Substituindo na função, temos:
f(x(t), y(t), z(t)) = (2t)^3 cdot (t^2)^2 cdot t^2 = 8t^3 cdot t^4 cdot t^2 = 8t^9

Passo 4

Agora, precisamos calcular dzdt. Dado que z = t^2, derivando em relação a t:
dzdt = 2t
Isso será usado na substituição da integral.

Passo 5

Com tudo isso, substituímos na fórmula da integral de linha:
integral0^1 8t^9 cdot 2t , dt = integral0^1 16t^10 , dt

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^1 16t^10 , dt = 16 integral0^1 t^10 , dt
A integral de t^n em relação a t é t^n+1n+1, então:
16 [ t^1111 ]0^1 = 16 ( 1^1111 - 0^1111 ) = 16 cdot 111 = 1611

Resposta

A integral de linha vale 1611.

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