Calcule a integral de linha, onde é a curva dada: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo de integral de linha. A integral que queremos calcular é , onde a curva é parametrizada por , e , com variando de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar a teoria de integrais de linha em parametrizações. Precisaremos substituir as variáveis , e pelas suas expressões em termos de e também calcular para fazer a substituição na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Essencialmente, é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. Quando a curva está parametrizada, como no nosso caso, podemos expressar a integral em termos do parâmetro . A fórmula básica para transformar a integral de linha é:
Aqui, e são os limites do parâmetro , que são 0 e 1 no nosso caso.

Passo 3

Vamos substituir as expressões parametrizadas na função . Sabendo que:
Substituindo na função, temos:

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Dado que , derivando em relação a :
Isso será usado na substituição da integral.

Passo 5

Com tudo isso, substituímos na fórmula da integral de linha:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
A integral de em relação a é , então:

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

(valor 2 pontos)
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha , ao longo da curva que é a fronteira da região delimitada pela parábola e pela reta ,
com orientação positiva. (Se resolver sem o Teorema de Green, a questão vale apenas 1 ponto).
Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre o ponto do plano que está mais próximo de .
Determine o trabalho realizado pelo campo de força para movimentar um objeto sobre a curva .
Determine uma função tal que e use esta função para calcular sobre a curva dada: , é o segmento de reta de até .