Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo de integral de linha. A integral que queremos calcular é
, onde a curva
é parametrizada por
,
e
, com
variando de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar a teoria de integrais de linha em parametrizações. Precisaremos substituir as variáveis
,
e
pelas suas expressões em termos de
e também calcular
para fazer a substituição na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Essencialmente, é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. Quando a curva está parametrizada, como no nosso caso, podemos expressar a integral em termos do parâmetro
. A fórmula básica para transformar a integral de linha é:
Aqui,
e
são os limites do parâmetro
, que são 0 e 1 no nosso caso.
Passo 3
Vamos substituir as expressões parametrizadas na função
. Sabendo que:
Substituindo na função, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
. Dado que
, derivando em relação a
:
Isso será usado na substituição da integral.
Passo 5
Com tudo isso, substituímos na fórmula da integral de linha:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
(valor 2 pontos)
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha , ao longo da curva
que é a fronteira da região delimitada pela parábola
e pela reta
,
com orientação positiva. (Se resolver sem o Teorema de Green, a questão vale apenas 1 ponto).
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre o ponto do plano
que está mais próximo de
.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre a curva
.
Determine uma função
tal que
e use esta função para calcular
sobre a curva
dada:
,
é o segmento de reta de
até
.