Determine o trabalho realizado pelo campo de força para movimentar um objeto sobre a curva .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um campo de força definido por e uma curva definida por para entre 0 e 1. O que precisamos descobrir é o trabalho realizado por esse campo de força ao mover um objeto ao longo dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha em cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Aqui, é a curva descrita por .

Passo 3

Vamos parametrizar o movimento usando . Isso significa que precisamos expressar o campo de força em termos de . Para isso, substituímos as componentes de na expressão de :
Então,

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , que é :

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar entre e :

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho:
Vamos resolver a integral:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é unidades de trabalho.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha, onde é a curva dada: .
(valor 2 pontos)
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha , ao longo da curva que é a fronteira da região delimitada pela parábola e pela reta ,
com orientação positiva. (Se resolver sem o Teorema de Green, a questão vale apenas 1 ponto).
Determine uma função tal que e use esta função para calcular sobre a curva dada: , é o segmento de reta de até .
Determine uma função tal que e use esta função para calcular sobre a curva dada: .