Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z) = x * z * i + y * x * j + z * y * k para movimentar um objeto sobre a curva r(t) = t^2 i - t^3 j + t^4 k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um campo de força definido por e uma curva definida por para t entre 0 e 1. O que precisamos descobrir é o trabalho realizado por esse campo de força ao mover um objeto ao longo dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha em cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho W realizado por um campo de força ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Aqui, C é a curva descrita por vec(r)(t).

Passo 3

Vamos parametrizar o movimento usando t. Isso significa que precisamos expressar o campo de força F em termos de t. Para isso, substituímos as componentes de vec(r)(t) na expressão de F:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de vec(r)(t) em relação a t, que é :

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar entre e :

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho:
Vamos resolver a integral:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é unidades de trabalho.

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