Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um campo de força definido por
e uma curva definida por
para
entre 0 e 1. O que precisamos descobrir é o trabalho realizado por esse campo de força ao mover um objeto ao longo dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de integração de linha em cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por um campo de força ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Aqui,
é a curva descrita por
.
Passo 3
Vamos parametrizar o movimento usando
. Isso significa que precisamos expressar o campo de força
em termos de
. Para isso, substituímos as componentes de
na expressão de
:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
para encontrar o trabalho:
Vamos resolver a integral:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
.
(valor 2 pontos)
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha , ao longo da curva
que é a fronteira da região delimitada pela parábola
e pela reta
,
com orientação positiva. (Se resolver sem o Teorema de Green, a questão vale apenas 1 ponto).
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
Determine uma função
tal que
e use esta função para calcular
sobre a curva
dada:
,
é o segmento de reta de
até
.
Determine uma função
tal que
e use esta função para calcular
sobre a curva
dada:
.