(valor 2 pontos)
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha , ao longo da curva que é a fronteira da região delimitada pela parábola e pela reta ,
com orientação positiva. (Se resolver sem o Teorema de Green, a questão vale apenas 1 ponto).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é , onde é a fronteira da região delimitada pela parábola e pela reta . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites da região . A curva é delimitada pela parábola e pela reta . Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, varia de a , e para cada , varia de até .

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Observando que a função é par, podemos simplificar a integração:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre o ponto do plano que está mais próximo de .
Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado indicado.
; é a região que satisfaz as desigualdades , e .
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada: .
Determine o trabalho realizado pelo campo de força para movimentar um objeto sobre a curva .