(valor 2 pontos)
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
, ao longo da curva
que é a fronteira da região delimitada pela parábola
e pela reta
,
com orientação positiva. (Se resolver sem o Teorema de Green, a questão vale apenas 1 ponto).
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é
, onde
é a fronteira da região delimitada pela parábola
e pela reta
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que essa curva delimita. A fórmula é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites da região
. A curva
é delimitada pela parábola
e pela reta
. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Observando que a função é par, podemos simplificar a integração:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre o ponto do plano
que está mais próximo de
.
Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado
indicado.
;
é a região que satisfaz as desigualdades
, e
.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
para movimentar um objeto sobre a curva
.