(valor 2 pontos)
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha integralC[y^2-arctg(x)] d x+[3 x+sen(y)] d y, ao longo da curva C que é a fronteira da região delimitada pela parábola y=x^2 e pela reta y=4,
C com orientação positiva. (Se resolver sem o Teorema de Green, a questão vale apenas 1 ponto).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é , onde é a fronteira da região delimitada pela parábola e pela reta . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(3x + sin(y)) = 3
partial Ppartial y = partialpartial y(y^2 - arctan(x)) = 2y
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD (3 - 2y) , dx , dy

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites da região x^2 = 4 implies x = pm 2 . A curva é delimitada pela parábola e pela reta . Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, varia de a , e para cada , varia de até .

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla:
integral-2^2 integralx^2^4 (3 - 2y) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integralx^2^4 (3 - 2y) , dy = [3y - y^2]x^2^4 = (12 - 16) - (3x^2 - (x^2)^2) = -4 - 3x^2 + x^4 :

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral-2^2 (-4 - 3x^2 + x^4) , dx :
2 integral0^2 (-4 - 3x^2 + x^4) , dx
Observando que a função é par, podemos simplificar a integração:
integral0^2 -4 , dx = -8
Calculando cada termo:
integral0^2 -3x^2 , dx = -243 = -8
integral0^2 x^4 , dx = 325
2 ( -8 -8 + 325 ) = 2 ( -16 + 325 ) = 2 ( -805 + 325 ) = 2 ( -485 ) = -965
Somando tudo:

Resposta

A integral de linha vale .

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