Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
b Encontre o ponto do plano 4x + 3y + z = 2 que está mais próximo de (1, 1, 1).

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o ponto no plano que está mais próximo do ponto . Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática para encontrar os máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a função que queremos minimizar. Aqui, queremos minimizar a distância entre um ponto no plano e o ponto . A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é dada por:
Para facilitar os cálculos, podemos minimizar o quadrado da distância:

Passo 3

Agora, temos uma restrição que é o plano . Vamos chamar essa restrição de . Usaremos os multiplicadores de Lagrange para incorporar essa restrição na nossa função.

Passo 4

O método dos multiplicadores de Lagrange diz que, para encontrar o mínimo de sujeito à restrição , devemos resolver o sistema de equações dado por:
onde representa o gradiente e é o multiplicador de Lagrange.

Passo 5

Vamos calcular os gradientes:
Então, temos:

Passo 6

Além disso, nossa restrição é:
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas ( ) que devemos resolver.

Passo 7

Vamos resolver as equações (1), (2) e (3) para em termos de :

Passo 8

Agora, substituímos essas expressões na equação (4):
Vamos simplificar:

Passo 9

Com o valor de , podemos encontrar :

Resposta

O ponto no plano mais próximo de é .

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