Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre o ponto do plano
que está mais próximo de
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o ponto no plano
que está mais próximo do ponto
. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática para encontrar os máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a função que queremos minimizar. Aqui, queremos minimizar a distância entre um ponto
no plano e o ponto
. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é dada por:
Para facilitar os cálculos, podemos minimizar o quadrado da distância:
Passo 3
Agora, temos uma restrição que é o plano
. Vamos chamar essa restrição de
. Usaremos os multiplicadores de Lagrange para incorporar essa restrição na nossa função.
Passo 4
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que, para encontrar o mínimo de
sujeito à restrição
, devemos resolver o sistema de equações dado por:
onde
representa o gradiente e
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 5
Vamos calcular os gradientes:
Então, temos:
Passo 6
Além disso, nossa restrição é:
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas (
) que devemos resolver.
Passo 7
Vamos resolver as equações (1), (2) e (3) para
em termos de
:
Passo 8
Agora, substituímos essas expressões na equação (4):
Vamos simplificar:
Passo 9
Com o valor de
, podemos encontrar
:
Resposta
O ponto no plano
mais próximo de
é
.
Exercícios relacionados
Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado
indicado.
;
é a região que satisfaz as desigualdades
, e
.
Resolva usando multiplicadores de Lagrange.
Encontre os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem.
(valor 2 pontos)
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha , ao longo da curva
que é a fronteira da região delimitada pela parábola
e pela reta
,
com orientação positiva. (Se resolver sem o Teorema de Green, a questão vale apenas 1 ponto).
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
.