Calcule a integral de linha onde é a curva dada: , onde é o segmento de reta de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai de até . Isso envolve cálculo de integrais ao longo de uma curva no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, expressar a integral em termos dessa parametrização e então calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é uma reta que vai de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
Isso significa que quando , estamos no ponto , e quando , chegamos em .

Passo 3

Agora, precisamos calcular , que é o diferencial de arco. Isso é dado pela norma da derivada da parametrização em relação a :
A norma de é:
Então, .

Passo 4

Substituindo a parametrização na função da integral:
A integral fica:
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 5

Para resolver , fazemos uma substituição:
A integral se transforma em:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular onde onde é a superfície do cubo limitado pelos planos .
Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço: para .
Calcule a integral de superfície: onde é a parte do paraboloide e que está dentro do cilindro .
Calcule a integral de linha onde é a curva dada: , onde é a metade direita do círculo .