Calcule a integral de linha onde C é a curva dada: integralC x e^y z d s, onde C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3) cdot raiz1412(e^6-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai de até . Isso envolve cálculo de integrais ao longo de uma curva no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, expressar a integral em termos dessa parametrização e então calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva r(t) = (t, 2t, 3t), t in [0, 1] . Como é uma reta que vai de a , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
Isso significa que quando , estamos no ponto , e quando , chegamos em .

Passo 3

Agora, precisamos calcular r'(t) = (1, 2, 3) , que é o diferencial de arco. Isso é dado pela norma da derivada da parametrização em relação a |r'(t)| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14 :
A norma de é:
Então, .

Passo 4

Substituindo a parametrização na função da integral:
x = t, y = 2t, z = 3t
A integral fica:
integralC x e^y z d s = integral0^1 t cdot e^(2t)(3t) cdot raiz14 , dt = raiz14 integral0^1 t e^6t^2 dt
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 5

Para resolver u = 6t^2 Rightarrow du = 12t , dt Rightarrow du12 = t , dt , fazemos uma substituição:
raiz14 cdot 112 integral0^6 e^u du = raiz14 cdot 112 (e^6 - 1)
A integral se transforma em:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados