Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
é o segmento de reta que vai de
até
. Isso envolve cálculo de integrais ao longo de uma curva no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, expressar a integral em termos dessa parametrização e então calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é uma reta que vai de
a
, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
Isso significa que quando
, estamos no ponto
, e quando
, chegamos em
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular
, que é o diferencial de arco. Isso é dado pela norma da derivada da parametrização em relação a
:
A norma de
é:
Então,
.
Passo 4
Substituindo a parametrização na função da integral:
A integral fica:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 5
Para resolver
, fazemos uma substituição:
A integral se transforma em:
Resposta
A integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular
onde
onde
é a superfície do cubo limitado pelos planos
.
Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço:
para
.
Calcule a integral de superfície:
onde
é a parte do paraboloide
e que está dentro do cilindro
.
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é a metade direita do círculo
.