Calcule a integral de superfície:
onde
é a parte do paraboloide
e que está dentro do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
. Vamos usar cálculo multivariado e coordenadas polares para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Temos que
é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
, onde
. Essa região é simétrica e mais fácil de trabalhar em coordenadas polares.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Nesse sistema,
, então a equação do cilindro fica
, ou seja,
varia de 0 a
e
varia de 0 a
.
Passo 4
A integral de superfície
pode ser expressa em coordenadas polares. Sabemos que
e o elemento de área
no paraboloide é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos na integral:
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral em
:
Fazemos uma substituição para simplificar. Seja
, então
, ou
. Quando
,
; e quando
,
.
Reescrevendo a integral:
Passo 7
Expandindo o integrando:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Passo 8
Agora, voltamos à integral original em
:
Como a expressão dentro dos colchetes não depende de
, a integral em
é simplesmente multiplicar por
:
Resposta
A integral de superfície
é igual a:
onde
. Você pode substituir
na expressão para obter o valor numérico final.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é o segmento de reta de
a
.
Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular
onde
onde
é a superfície do cubo limitado pelos planos
.
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é a metade direita do círculo
.
Determine o potencial
tal que
e calcule a integral de linha
:
onde
é o segmento de reta que de
a
.
e a integral é 77 .