Calcule a integral de superfície: onde é a parte do paraboloide e que está dentro do cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é a parte do paraboloide que está dentro do cilindro . Vamos usar cálculo multivariado e coordenadas polares para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos que é a parte do paraboloide que está dentro do cilindro , onde . Essa região é simétrica e mais fácil de trabalhar em coordenadas polares.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nesse sistema, , então a equação do cilindro fica , ou seja, varia de 0 a e varia de 0 a .

Passo 4

A integral de superfície pode ser expressa em coordenadas polares. Sabemos que e o elemento de área no paraboloide é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos na integral:

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral em :
Fazemos uma substituição para simplificar. Seja , então , ou . Quando , ; e quando , .
Reescrevendo a integral:

Passo 7

Expandindo o integrando:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:

Passo 8

Agora, voltamos à integral original em :
Como a expressão dentro dos colchetes não depende de , a integral em é simplesmente multiplicar por :

Resposta

A integral de superfície é igual a:
onde . Você pode substituir na expressão para obter o valor numérico final.

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