Calcule a integral de superfície: integral duplaS y d S onde S é a parte do paraboloide y=x^2+z^2 e que está dentro do cilindro x^2+z^2=4 cdot pi60(391 raiz17+1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS y , dS, onde S é a parte do paraboloide y = x^2 + z^2 que está dentro do cilindro x^2 + z^2 = 4 cdot pi60(391 raiz17 + 1). Vamos usar cálculo multivariado e coordenadas polares para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região S. Temos que S é a parte do paraboloide y = x^2 + z^2 que está dentro do cilindro x^2 + z^2 = R^2, onde R^2 = 4 cdot pi60(391 raiz17 + 1). Essa região é simétrica e mais fácil de trabalhar em coordenadas polares.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares, onde x = r cos theta e z = r sin theta. Nesse sistema, x^2 + z^2 = r^2, então a equação do cilindro fica r^2 = R^2, ou seja, r varia de 0 a R e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

A integral de superfície integral duplaS y , dS pode ser expressa em coordenadas polares. Sabemos que y = r^2 e o elemento de área dS no paraboloide é dado por:
dS = raiz1 + (partial ypartial x)^2 + (partial ypartial z)^2 , dx , dz
Calculando as derivadas parciais:
partial ypartial x = 2x = 2r cos theta
partial ypartial z = 2z = 2r sin theta
Então,
dS = raiz1 + (2r cos theta)^2 + (2r sin theta)^2 , r , dr , dtheta = raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta

Passo 5

Agora, substituímos na integral:
integral duplaS y , dS = integral0^2pi integral0^R r^2 cdot raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^R r^3 raiz1 + 4r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral em r:
integral0^R r^3 raiz1 + 4r^2 , dr
Fazemos uma substituição para simplificar. Seja u = 1 + 4r^2, então du = 8r , dr, ou r , dr = du8. Quando r = 0, u = 1; e quando r = R, u = 1 + 4R^2.
Reescrevendo a integral:
integralu=1^1 + 4R^2 (u - 14) cdot raizu cdot du8 = 132 integral1^1 + 4R^2 (u - 1) u^1/2 , du

Passo 7

Expandindo o integrando:
(u - 1) u^1/2 = u^3/2 - u^1/2
Então, a integral fica:
132 ( integral1^1 + 4R^2 u^3/2 , du - integral1^1 + 4R^2 u^1/2 , du )
Calculando cada parte:
integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 + C
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Substituindo os limites de integração:
132 ( 25 [ (1 + 4R^2)^5/2 - 1^5/2 ] - 23 [ (1 + 4R^2)^3/2 - 1^3/2 ] )
Simplificando:
132 ( 25 [ (1 + 4R^2)^5/2 - 1 ] - 23 [ (1 + 4R^2)^3/2 - 1 ] )

Passo 8

Agora, voltamos à integral original em theta:
integral duplaS y , dS = integral0^2pi [ 132 ( 25 [ (1 + 4R^2)^5/2 - 1 ] - 23 [ (1 + 4R^2)^3/2 - 1 ] ) ] dtheta
Como a expressão dentro dos colchetes não depende de theta, a integral em theta é simplesmente multiplicar por 2pi:
integral duplaS y , dS = 2pi cdot 132 ( 25 [ (1 + 4R^2)^5/2 - 1 ] - 23 [ (1 + 4R^2)^3/2 - 1 ] )

Resposta

A integral de superfície integral duplaS y , dS é igual a:
pi16 ( 25 [ (1 + 4R^2)^5/2 - 1 ] - 23 [ (1 + 4R^2)^3/2 - 1 ] )
onde R^2 = 4 cdot pi60(391 raiz17 + 1). Você pode substituir R^2 na expressão para obter o valor numérico final.

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