Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular integral duplaS F cdot d S onde F(x, y, z)=(3 x, x y, 2 x z) onde S é a superfície do cubo limitado pelos planos x= 0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1 cdot 92.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema da Divergente (Teorema de Gauss) para calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre a superfície de um cubo definido pelos planos , , , , e . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergente e como aplicá-lo nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergente. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV com a integral da divergência desse campo sobre o volume que está dentro dessa superfície. Matematicamente, é escrito assim:
Ou seja, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, que pode ser complicada, podemos calcular a integral tripla da divergência de sobre o volume .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z . A divergência de um campo vetorial nabla cdot F = partial (3x)partial x + partial (xy)partial y + partial (2xz)partial z = 3 + x + 2x = 3 + 3x é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo :

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume integral triplaV (3 + 3x) , dV = integral0^1 integral0^1 integral0^92 (3 + 3x) , dz , dy , dx do cubo. O cubo está limitado por a , a , e a .
A integral tripla fica assim:

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^92 (3 + 3x) , dz = (3 + 3x) cdot z g|0^92 = (3 + 3x) cdot 92 = 272 + 272x :
integral0^1 ( 272 + 272x ) dy = ( 272 + 272x ) cdot y g|0^1 = 272 + 272x
Agora, integramos em relação a integral0^1 ( 272 + 272x ) dx = 272x + 274x^2 g|0^1 = 272 + 274 = 544 + 274 = 814 :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

A integral de superfície vale .

Exercícios relacionados