Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular onde onde é a superfície do cubo limitado pelos planos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema da Divergente (Teorema de Gauss) para calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre a superfície de um cubo definido pelos planos , , , , e . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergente e como aplicá-lo nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergente. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume que está dentro dessa superfície. Matematicamente, é escrito assim:
Ou seja, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, que pode ser complicada, podemos calcular a integral tripla da divergência de sobre o volume .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo :

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume do cubo. O cubo está limitado por a , a , e a .
A integral tripla fica assim:

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

A integral de superfície vale .

Exercícios relacionados

Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço: para .
Use o Teorema de Green para calcular:
(a) onde é o círculo de centro na origem e raio .
Calcule a integral de linha onde é a curva dada: , onde é o segmento de reta de a .
Calcule a integral de superfície: onde é a parte do paraboloide e que está dentro do cilindro .