Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular onde onde é a superfície do cubo limitado pelos planos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema da Divergente (Teorema de Gauss) para calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre a superfície de um cubo definido pelos planos , , , , e . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergente e como aplicá-lo nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergente. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume que está dentro dessa superfície. Matematicamente, é escrito assim:
Ou seja, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, que pode ser complicada, podemos calcular a integral tripla da divergência de sobre o volume .
Passo 3
Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo :
Passo 4
Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume do cubo. O cubo está limitado por a , a , e a .
A integral tripla fica assim:
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :