Calcule a integral de linha onde C é a curva dada: integralC x y^4 d s, onde C é a metade direita do círculo x^2+y^2=16 cdot 2 cdot 4^65.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha, especificamente integralC x y^4 , d s, onde C é a metade direita do círculo definido por x^2+y^2=16 cdot 2 cdot 4^65. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial e integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva C e então calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do círculo para entender melhor. Temos:
x^2 + y^2 = 16 cdot 2 cdot 4^65
Calculando 4^6:
4^6 = 4096
Então,
x^2 + y^2 = 16 cdot 2 cdot 40965 = 16 cdot 81925 = 1310725
Portanto, o raio R do círculo é:
R = raiz1310725 = 256raiz5 approx 114.64

Passo 3

Como C é a metade direita do círculo, vamos parametrizar essa curva usando coordenadas polares. Podemos representar a metade direita do círculo com $ \theta $ variando de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $:
theta
Onde $ R = \frac{256}{\sqrt{5}} $.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar $ ds $, que é o elemento de arco da curva. Em coordenadas polares, temos:
ds
Calculando as derivadas:
ds = raiz( dxdtheta )^2 + ( dydtheta )^2 , dtheta
Então,
dxdtheta = -R sin theta dydtheta = R cos theta

Passo 5

Agora, substituímos $ x $, $ y $ e $ ds $ na integral original:
x
Simplificando:
y

Passo 6

Para resolver a integral integral cos theta sin^4 theta , dtheta, vamos usar a substituição:
u = sin theta du = cos theta , dtheta
Então, a integral se torna:
integral u^4 , du = u^55 + C = sin^5 theta5 + C
Aplicando os limites de integração:
[ sin^5 theta5 ]-pi2^pi2 = sin^5 ( pi2 ) - sin^5 ( -pi2 )5 = 1 - (-1)5 = 25

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral de volta:
integralC x y^4 , ds = R^6 cdot 25
Lembrando que $ R = \frac{256}{\sqrt{5}} $:
R = 256raiz5
Calculando:
R^6 = ( 256raiz5 )^6 = 256^65^3 = 2^48125

Resposta

A integral de linha é igual a 2^49625.

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