Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é a metade direita do círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha, especificamente
, onde
é a metade direita do círculo definido por
. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial e integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
e então calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do círculo para entender melhor. Temos:
Calculando
:
Então,
Portanto, o raio
do círculo é:
Passo 3
Como
é a metade direita do círculo, vamos parametrizar essa curva usando coordenadas polares. Podemos representar a metade direita do círculo com $ \theta $ variando de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $:
Onde $ R = \frac{256}{\sqrt{5}} $.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar $ ds $, que é o elemento de arco da curva. Em coordenadas polares, temos:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos $ x $, $ y $ e $ ds $ na integral original:
Simplificando:
Passo 6
Para resolver a integral
, vamos usar a substituição:
Então, a integral se torna:
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral de volta:
Lembrando que $ R = \frac{256}{\sqrt{5}} $:
Calculando:
Resposta
A integral de linha é igual a
.