Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é encontrar a equação cartesiana de uma curva que está dada de forma parametrizada. Isso significa que temos as equações de
e
em função de um parâmetro, no caso,
. Depois disso, vamos fazer um esboço dessa curva para visualizar melhor. Para isso, vamos precisar entender como eliminar o parâmetro
e relacionar
e
diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as equações parametrizadas que temos:
O objetivo é eliminar o parâmetro
para obter uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a primeira equação para
:
Agora que temos
em termos de
, podemos substituir esse valor na segunda equação:
Então, a equação cartesiana da curva é:
Passo 4
Agora, vamos fazer um esboço dessa curva. A equação
representa uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto
. Como
e
, isso implica que
. Portanto, vamos desenhar apenas a parte da parábola onde
é positivo.
Resposta
A equação cartesiana da curva parametrizada é
. O esboço corresponde a uma parábola que abre para baixo com vértice em
e definida para
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular:
(a) onde
é o círculo de centro na origem e raio
.
(a)
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é o arco da curva
de
a
.
Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular
onde
onde
é a superfície do cubo limitado pelos planos
.
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é o segmento de reta de
a
.