Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço: para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é encontrar a equação cartesiana de uma curva que está dada de forma parametrizada. Isso significa que temos as equações de e em função de um parâmetro, no caso, . Depois disso, vamos fazer um esboço dessa curva para visualizar melhor. Para isso, vamos precisar entender como eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as equações parametrizadas que temos:
O objetivo é eliminar o parâmetro para obter uma relação direta entre e .

Passo 3

Vamos começar resolvendo a primeira equação para :
Agora que temos em termos de , podemos substituir esse valor na segunda equação:
Então, a equação cartesiana da curva é:

Passo 4

Agora, vamos fazer um esboço dessa curva. A equação representa uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto . Como e , isso implica que . Portanto, vamos desenhar apenas a parte da parábola onde é positivo.

Resposta

A equação cartesiana da curva parametrizada é . O esboço corresponde a uma parábola que abre para baixo com vértice em e definida para .

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