Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada: integralC y d s, C: x=t^2, y=t, 0 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral integralC y , ds, onde a curva C é definida por x = t^2 e y = t, com t variando de 0 a 2. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é ds. Em cálculo, ds representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva. Para calcular ds, vamos derivar as funções paramétricas x(t) e y(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos derivar:
  • x(t) = t^2, então dxdt = 2t
  • y(t) = t, então dydt = 1

Passo 4

Agora, usamos a fórmula para ds:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz(2t)^2 + (1)^2 , dt = raiz4t^2 + 1 , dt

Passo 5

Substituímos y e ds na integral original:
integralC y , ds = integral0^2 t cdot raiz4t^2 + 1 , dt

Passo 6

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = 4t^2 + 1 Rightarrow dudt = 8t Rightarrow t , dt = du8

Passo 7

Substituindo na integral:
integral t cdot raiz4t^2 + 1 , dt = integral raizu cdot du8 = 18 integral u^1/2 , du

Passo 8

Calculando a integral:
18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C
Onde C é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.

Passo 9

Voltando para a variável original t:
112 (4t^2 + 1)^3/2 gr|0^2

Passo 10

Substituindo os limites de integração:
  • Para t = 2:
112 (4 cdot 2^2 + 1)^3/2 = 112 (17)^3/2
  • Para t = 0:
112 (4 cdot 0^2 + 1)^3/2 = 112 (1)^3/2 = 112

Passo 11

Calculando a diferença:
112 (17)^3/2 - 112 = (17)^3/2 - 112
Aproximando (17)^3/2:
(17)^3/2 = raiz17 approx 4,1231 Rightarrow (4,1231)^3 approx 70,992
Então:
70,992 - 112 = 69,99212 approx 5,8327

Resposta

A integral de linha vale aproximadamente 5,83.

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