Calcule a integral de linha, onde é a curva dada: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde a curva é definida por e , com variando de 0 a 2. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é . Em cálculo, representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva. Para calcular , vamos derivar as funções paramétricas e em relação a .

Passo 3

Vamos derivar:
  • , então
  • , então

Passo 4

Agora, usamos a fórmula para :

Passo 5

Substituímos e na integral original:

Passo 6

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Calculando a integral:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.

Passo 9

Voltando para a variável original :

Passo 10

Substituindo os limites de integração:
  • Para :
  • Para :

Passo 11

Calculando a diferença:
Aproximando :
Então:

Resposta

A integral de linha vale aproximadamente 5,83.

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Esboce o campo vetorial desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes: .
Mostre que se um campo vetorial é conservativo e se tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então: e .
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Suponha que seja um campo vetorial sobre . Defina
© Se for um campo de velocidade em um fluido, qual a interpretação física de e ?