Calcule a integral de linha, onde é a curva dada: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde a curva é definida por e , com variando de 0 a 2. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é . Em cálculo, representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva. Para calcular , vamos derivar as funções paramétricas e em relação a .
Passo 3
Vamos derivar:
, então
, então
Passo 4
Agora, usamos a fórmula para :
Passo 5
Substituímos e na integral original:
Passo 6
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Calculando a integral:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.