Suponha que
seja um campo vetorial sobre
. Defina
© Se
for um campo de velocidade em um fluido, qual a interpretação física de
e
?
© Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente entender o que significam, fisicamente, a rotação (rot F) e a divergência (div F) de um campo de velocidade F em um fluido. Vamos precisar lembrar o que cada uma dessas operações matemáticas representa no contexto de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a rotação de F, que matematicamente escrevemos como
ou
. Na física dos fluidos, a rotação mede a tendência das partículas do fluido de girar em torno de um ponto. Imagine que você tem pequenas partículas de fluido que estão girando em círculos; quanto mais elas giram, maior é a rotação do campo de velocidade. Essa medida é conhecida como vorticidade e dá uma ideia de quão “turbulento” ou “calmo” o fluxo está.
Agora, sobre a divergência de F, que escrevemos como
ou
. A divergência quantifica a taxa na qual o fluido está “saindo” ou “entrando” de um ponto específico. Se a divergência for positiva em um ponto, significa que há uma fonte ali — o fluido est�� se expandindo ou saindo daquele ponto. Se for negativa, é como se fosse um sumidouro — o fluido está se contraiendo ou entrando naquele ponto. Isso está relacionado à conservação de massa no fluxo do fluido.
Resposta
A rotação do campo de velocidade (
) representa a vorticidade, ou seja, a tendência das partículas do fluido de girar em torno de um ponto, indicando a presença de movimentos circulares no fluxo. Já a divergência (
) mede a taxa de expansão ou contração do fluido em um ponto, mostrando onde o fluido está se espalhando ou convergindo.
Exercícios relacionados
Responda os itens abaixo:
(a) Defina a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva lisa C dada pela função vetorial
.
(a) Defina a integral de linha do campo vetorial
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
.
Suponha que
seja um campo vetorial sobre
. Defina
(b) Defina div .
(b) Defina div
Responda os itens abaixo:
© Escreva expressões para a massa e para o centro de massa de um arame fino com o formato da curva se o arame tiver função densidade linear
.
© Escreva expressões para a massa e para o centro de massa de um arame fino com o formato da curva