Mostre que se um campo vetorial F=P i+Q j+R k é conservativo e se P, Q, R tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então: partial Ppartial y=partial Qpartial x, partial Ppartial z=partial Rpartial x e partial Qpartial z=partial Rpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que se um campo vetorial F = P i + Q j + R k é conservativo e se as funções P, Q, R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então certas igualdades entre as derivadas parciais devem ser verdadeiras. O conteúdo aqui envolve Campos Vetoriais Conservativos e Derivadas Parciais. Vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como calcular o rotacional desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar phi, ou seja, F = nabla phi. Isso também implica que o trabalho feito pelo campo F ao longo de qualquer caminho fechado é zero.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o rotacional de um campo vetorial, que é uma medida de quanto o campo “gira” em torno de um ponto. O rotacional de F é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Para um campo ser conservativo, o rotacional dele deve ser nulo, ou seja, nabla times F = 0.

Passo 4

Vamos igualar cada componente do rotacional a zero:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0
partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0
Isso nos dá as seguintes igualdades:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
partial Ppartial z = partial Rpartial x
partial Qpartial z = partial Rpartial y

Resposta

Logo, mostramos que se o campo vetorial F=P i+Q j+R k é conservativo e as funções P, Q, R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então:
partial Ppartial y=partial Qpartial x, partial Ppartial z=partial Rpartial x e partial Qpartial z=partial Rpartial y

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