Mostre que se um campo vetorial é conservativo e se tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que se um campo vetorial é conservativo e se as funções , , têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então certas igualdades entre as derivadas parciais devem ser verdadeiras. O conteúdo aqui envolve Campos Vetoriais Conservativos e Derivadas Parciais. Vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como calcular o rotacional desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar , ou seja, . Isso também implica que o trabalho feito pelo campo ao longo de qualquer caminho fechado é zero.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o rotacional de um campo vetorial, que é uma medida de quanto o campo “gira” em torno de um ponto. O rotacional de é dado por:
Para um campo ser conservativo, o rotacional dele deve ser nulo, ou seja, .

Passo 4

Vamos igualar cada componente do rotacional a zero:
Isso nos dá as seguintes igualdades:

Resposta

Logo, mostramos que se o campo vetorial é conservativo e as funções , , têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então:

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