Mostre que se um campo vetorial
é conservativo e se
tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que se um campo vetorial
é conservativo e se as funções
,
,
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então certas igualdades entre as derivadas parciais devem ser verdadeiras. O conteúdo aqui envolve Campos Vetoriais Conservativos e Derivadas Parciais. Vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como calcular o rotacional desse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
, ou seja,
. Isso também implica que o trabalho feito pelo campo
ao longo de qualquer caminho fechado é zero.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o rotacional de um campo vetorial, que é uma medida de quanto o campo “gira” em torno de um ponto. O rotacional de
é dado por:
Para um campo ser conservativo, o rotacional dele deve ser nulo, ou seja,
.
Passo 4
Vamos igualar cada componente do rotacional a zero:
Isso nos dá as seguintes igualdades:
Resposta
Logo, mostramos que se o campo vetorial
é conservativo e as funções
,
,
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então:
Exercícios relacionados
Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes.
.
Derive termo a termo a série encontrada na parte a, a fim de achar uma representação em série de potências para
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Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes:
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Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
.