Responda os itens abaixo:
(a) Defina a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva lisa C dada pela função vetorial
.
(a) Defina a integral de linha do campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para definir a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva lisa
, que é descrita por uma função vetorial
. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente às integrais de linha, que são usadas para somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de uma trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Imagine que você tem um campo vetorial
, que pode representar, por exemplo, a velocidade do vento em diferentes pontos do espaço. A curva
representa um caminho que um objeto vai seguir. A integral de linha calcula o trabalho realizado pelo campo vetorial ao mover o objeto ao longo desse caminho.
Passo 3
Para definir matematicamente a integral de linha, precisamos parametrizar a curva
usando a função vetorial
, onde
varia de
a
. A função
nos dá as coordenadas de cada ponto na curva conforme
varia.
Passo 4
A integral de linha é dada por:
Aqui,
é o campo vetorial avaliado ao longo da curva, e
é a derivada da função vetorial, que representa a tangente à curva.
Passo 5
O produto escalar
calcula a componente do campo vetorial na direção da trajetória. Integrando isso de
a
, a gente soma todas essas contribuições ao longo de toda a curva.
Resposta
A integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva lisa
dada por
é definida por:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
.
Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes:
.
Suponha que
seja um campo vetorial sobre
. Defina
© Se for um campo de velocidade em um fluido, qual a interpretação física de
e
?
© Se
Suponha que
seja um campo vetorial sobre
. Defina
(b) Defina div .
(b) Defina div