Responda os itens abaixo:
(a) Defina a integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva lisa C dada pela função vetorial r(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para definir a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva lisa C, que é descrita por uma função vetorial r(t). Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente às integrais de linha, que são usadas para somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de uma trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Imagine que você tem um campo vetorial F, que pode representar, por exemplo, a velocidade do vento em diferentes pontos do espaço. A curva C representa um caminho que um objeto vai seguir. A integral de linha calcula o trabalho realizado pelo campo vetorial ao mover o objeto ao longo desse caminho.

Passo 3

Para definir matematicamente a integral de linha, precisamos parametrizar a curva C usando a função vetorial r(t), onde t varia de a a b. A função r(t) nos dá as coordenadas de cada ponto na curva conforme t varia.

Passo 4

A integral de linha é dada por:
Aqui, é o campo vetorial avaliado ao longo da curva, e é a derivada da função vetorial, que representa a tangente à curva.

Passo 5

O produto escalar calcula a componente do campo vetorial na direção da trajetória. Integrando isso de a a b, a gente soma todas essas contribuições ao longo de toda a curva.

Resposta

A integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva lisa C dada por r(t) é definida por:

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