Responda os itens abaixo:
(a) Defina a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva lisa C dada pela função vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para definir a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva lisa , que é descrita por uma função vetorial . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente às integrais de linha, que são usadas para somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de uma trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Imagine que você tem um campo vetorial , que pode representar, por exemplo, a velocidade do vento em diferentes pontos do espaço. A curva representa um caminho que um objeto vai seguir. A integral de linha calcula o trabalho realizado pelo campo vetorial ao mover o objeto ao longo desse caminho.

Passo 3

Para definir matematicamente a integral de linha, precisamos parametrizar a curva usando a função vetorial , onde varia de a . A função nos dá as coordenadas de cada ponto na curva conforme varia.

Passo 4

A integral de linha é dada por:
Aqui, é o campo vetorial avaliado ao longo da curva, e é a derivada da função vetorial, que representa a tangente à curva.

Passo 5

O produto escalar calcula a componente do campo vetorial na direção da trajetória. Integrando isso de a , a gente soma todas essas contribuições ao longo de toda a curva.

Resposta

A integral de linha do campo vetorial ao longo da curva lisa dada por é definida por:

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