Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que nabla f=F.
(a) F(x, y)=(2 x-3 y) i+(-3 x+4 y-8) j

Passo 1

Primeiramente, precisamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y)=(2 x-3 y) i+(-3 x+4 y-8) j. O que precisamos fazer é verificar se esse campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar f tal que nabla f = F. Para isso, usamos o teste da condição de igualdade das derivadas parciais.

Passo 2

Vamos primeiro calcular as componentes do campo vetorial. O vetor F é composto por duas partes:
  • F1(x, y) = 2x - 3y
  • F2(x, y) = -3x + 4y - 8
Para que o campo seja conservativo, precisamos que a derivada parcial de F1 em relação a y seja igual à derivada parcial de F2 em relação a x, ou seja:
partial F1partial y = partial F2partial x
Vamos calcular isso agora.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de F1 em relação a y:
partial F1partial y = partial (2x - 3y)partial y = -3
Agora, calculamos a derivada parcial de F2 em relação a x:
partial F2partial x = partial (-3x + 4y - 8)partial x = -3

Passo 4

Como partial F1partial y = -3 é igual a partial F2partial x = -3, podemos concluir que o campo F é conservativo. Agora, precisamos encontrar a função f tal que nabla f = F. Isso significa que precisamos encontrar f(x, y) de modo que:
partial fpartial x = F1 = 2x - 3y
partial fpartial y = F2 = -3x + 4y - 8

Passo 5

Vamos encontrar f a partir da primeira equação. Integramos F1 em relação a x:
f(x, y) = integral (2x - 3y) , dx = x^2 - 3xy + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que pode depender de y.
Agora, vamos derivar f em relação a y:
partial fpartial y = -3x + g'(y)

Passo 6

Agora, igualamos essa derivada à componente F2:
-3x + g'(y) = -3x + 4y - 8
A partir disso, temos:
g'(y) = 4y - 8
Agora, integramos essa equação em relação a y:
g(y) = integral (4y - 8) , dy = 2y^2 - 8y + C
onde C é uma constante.

Passo 7

Por fim, agora podemos escrever a função f completa:
f(x, y) = x^2 - 3xy + 2y^2 - 8y + C

Resposta

Concluímos que o campo F é conservativo e a função f que satisfaz nabla f = F é:
f(x, y) = x^2 - 3xy + 2y^2 - 8y + C, onde C é uma constante.

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