Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
(a)
(a)
Passo 1
Primeiramente, precisamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
. O que precisamos fazer é verificar se esse campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Para isso, usamos o teste da condição de igualdade das derivadas parciais.
Passo 2
Vamos primeiro calcular as componentes do campo vetorial. O vetor
é composto por duas partes:
Para que o campo seja conservativo, precisamos que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Vamos calcular isso agora.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Como
é igual a
, podemos concluir que o campo
é conservativo. Agora, precisamos encontrar a função
tal que
. Isso significa que precisamos encontrar
de modo que:
Passo 5
Vamos encontrar
a partir da primeira equação. Integramos
em relação a
:
Aqui,
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 6
Agora, igualamos essa derivada à componente
:
A partir disso, temos:
Agora, integramos essa equação em relação a
:
onde
Passo 7
Por fim, agora podemos escrever a função
completa:
Resposta
Concluímos que o campo
é conservativo e a função
que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
(d)
(d)
Uma pequena esfera metálica com carga
é mantida fixa por suportes isolantes. Uma segunda esfera metálica com carga
e massa igual a 1,23 g é projetada contra
. Quando a distância entre as esferas é igual a
se aproxima de
com velocidade de
. Supondo que as esferas possam ser tratadas como cargas pontuais e desprezando efeitos gravitacionais, determine a velocidade da carga
quando a distância entre as esferas é igual a 37 cm ;
Determine uma função
tal que
e calcule
sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
(a) e
é o arco da parábola
de
a
.
(a)
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(a) , onde
.
(a)