Determine uma função f tal que nabla f=F e calcule integralC F cdot d r sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
(a) F(x, y)=x^2 i+y^2 j e C é o arco da parábola y=2 x^2 de (-1,2) a (2,8).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma função f tal que o gradiente dela, nabla f, seja igual ao vetor campo F. Depois disso, vamos calcular a integral de linha integralC F cdot d r ao longo da curva C. Esse problema envolve conceitos de cálculo vetorial, principalmente o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que se sabemos uma função potencial f, podemos calcular a integral de linha a partir dos valores de f nos pontos inicial e final da curva. Vamos precisar da função F(x,y) = x^2 i + y^2 j e da curva C definida pela parábola y = 2x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função f. O gradiente de f, nabla f, é dado por:
nabla f = (partial fpartial x, partial fpartial y)
Então queremos que isso seja igual a F(x, y) = (x^2, y^2). Isso nos dá os seguintes sistemas de equações:
  1. partial fpartial x = x^2
  2. partial fpartial y = y^2
Vamos encontrar f integrando essas equações. Começando pela primeira:
f(x, y) = integral x^2 , dx = x^33 + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende de y porque a integração em relação a x pode adicionar uma função de y que não interfere na derivada parcial em relação a x.
Agora, vamos fazer a mesma coisa com a segunda equação:
partial fpartial y = partialpartial y (x^33 + g(y)) = g'(y)
Igualando isso a y^2, temos:
g'(y) = y^2
Integrando novamente, obtemos:
g(y) = integral y^2 , dy = y^33 + C
onde C é uma constante. Assim, nossa função f fica:
f(x, y) = x^33 + y^33 + C

Passo 3

Agora que encontramos a função f(x, y) = x^33 + y^33 + C, podemos usar o Teorema Fundamental da Integrais de Linha. O teorema diz que:
integralC F cdot d r = f(ponto final) - f(ponto inicial)
Os pontos da curva C são de (-1, 2) a (2, 8). Vamos calcular f nesses pontos. Primeiro, para o ponto inicial (-1, 2):
f(-1, 2) = (-1)^33 + (2)^33 + C = -13 + 83 + C = 73 + C
Agora, para o ponto final (2, 8):
f(2, 8) = (2)^33 + (8)^33 + C = 83 + 5123 + C = 5203 + C
Vamos agora encontrar a diferença entre esses dois resultados:
integralC F cdot d r = (5203 + C) - (73 + C) = 5203 - 73 = 5133

Resposta

Assim, a integral de linha é integralC F cdot d r = 5133 = 171.

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