Determine uma função
tal que
e calcule
sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
(a)
e
é o arco da parábola
de
a
.
(a)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma função
tal que o gradiente dela,
, seja igual ao vetor campo
. Depois disso, vamos calcular a integral de linha
ao longo da curva
. Esse problema envolve conceitos de cálculo vetorial, principalmente o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que se sabemos uma função potencial
, podemos calcular a integral de linha a partir dos valores de
nos pontos inicial e final da curva. Vamos precisar da função
e da curva
definida pela parábola
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função
. O gradiente de
,
, é dado por:
Então queremos que isso seja igual a
. Isso nos dá os seguintes sistemas de equações:
Vamos encontrar
integrando essas equações. Começando pela primeira:
Aqui,
é uma função que depende de
porque a integração em relação a
pode adicionar uma função de
que não interfere na derivada parcial em relação a
.
Agora, vamos fazer a mesma coisa com a segunda equação:
Igualando isso a
, temos:
Integrando novamente, obtemos:
onde
é uma constante. Assim, nossa função
fica:
Passo 3
Agora que encontramos a função
, podemos usar o Teorema Fundamental da Integrais de Linha. O teorema diz que:
Os pontos da curva
são de
a
. Vamos calcular
nesses pontos. Primeiro, para o ponto inicial
:
Agora, para o ponto final
:
Vamos agora encontrar a diferença entre esses dois resultados:
Resposta
Assim, a integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
(a)
(a)
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
(d)
(d)
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(a) , onde
.
(a)
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(e) , onde
.
(e)