Calcule a integral de linha onde é a curva dada:
, C consiste nos segmentos de reta de a

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral
onde é o segmento de reta que vai de até . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como substituir os diferenciais , e na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é um segmento de reta, podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1, onde:
Assim, quando , estamos no ponto e, quando , chegamos em .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os diferenciais , e em termos de . Derivando cada função em relação a :

Passo 4

Substituímos agora a parametrização e os diferenciais na integral original:
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
Assim, a integral simplificada é:
Agora, integramos termo a termo:
Somando tudo:

Resposta

A integral de linha vale .

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