Calcule a integral de linha onde C é a curva dada:
integralC z^2 d x+x^2 d y+y^2 d z, C consiste nos segmentos de reta de (1,0,0) a (4,1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral
integralC z^2 , dx + x^2 , dy + y^2 , dz
onde é o segmento de reta que vai de até . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como substituir os diferenciais , e na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = 1 + 3t y(t) = 0 + t z(t) = 0 + 2t . Como é um segmento de reta, podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1, onde:
Assim, quando , estamos no ponto e, quando , chegamos em .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os diferenciais dx = dxdt , dt = 3 , dt dy = dydt , dt = 1 , dt dz = dzdt , dt = 2 , dt , e em termos de . Derivando cada função em relação a :

Passo 4

Substituímos agora a parametrização e os diferenciais na integral original:
integralC z^2 , dx + x^2 , dy + y^2 , dz = integral0^1 [ (2t)^2 cdot 3 , dt + (1 + 3t)^2 cdot 1 , dt + t^2 cdot 2 , dt ]
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
(2t)^2 cdot 3 = 4t^2 cdot 3 = 12t^2
(1 + 3t)^2 = 1 + 6t + 9t^2
t^2 cdot 2 = 2t^2
Então, a integral fica:
integral0^1 [ 12t^2 + 1 + 6t + 9t^2 + 2t^2 ] dt

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
12t^2 + 9t^2 + 2t^2 = 23t^2
6t
1
Assim, a integral simplificada é:
integral0^1 [ 23t^2 + 6t + 1 ] dt
Agora, integramos termo a termo:
integral0^1 23t^2 , dt = 23 cdot t^33 gr|0^1 = 233 (1^3 - 0^3) = 233
integral0^1 6t , dt = 6 cdot t^22 gr|0^1 = 3 (1^2 - 0^2) = 3
integral0^1 1 , dt = t gr|0^1 = 1 - 0 = 1
Somando tudo:
233 + 3 + 1 = 233 + 93 + 33 = 353

Resposta

A integral de linha vale .

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