Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries numéricas, um tópico de cálculo que ajuda a entender se a soma infinita de termos se aproxima de um valor específico ou não. Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, comparando com séries que já conhecemos o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Sabemos que para valores pequenos de
, . Isso significa que quando
é grande,
é bem pequeno, e podemos aproximar por
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então a série
converge.
Passo 4
Como para
grande, podemos usar o Teste da Comparação. Se a série que estamos comparando (nossa série original) é menor ou igual a uma série convergente, então nossa série também converge.
Passo 5
Vamos formalizar isso:
Como
converge e é menor ou igual a
, pela comparação direta, nossa série também converge.
Resposta
A série converge.
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Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
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é a curva dada:
, C consiste nos segmentos de reta de
a
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