Teste a convergência ou divergência das séries

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries numéricas, um tópico de cálculo que ajuda a entender se a soma infinita de termos se aproxima de um valor específico ou não. Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, comparando com séries que já conhecemos o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Sabemos que para valores pequenos de , . Isso significa que quando é grande, é bem pequeno, e podemos aproximar por .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que a série converge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então a série converge.

Passo 4

Como para grande, podemos usar o Teste da Comparação. Se a série que estamos comparando (nossa série original) é menor ou igual a uma série convergente, então nossa série também converge.

Passo 5

Vamos formalizar isso:
Como converge e é menor ou igual a , pela comparação direta, nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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