Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sum n3^n(x-1)^n

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma série do tipo sum n3^n(x-1)^n. A matéria que vamos usar pra resolver isso é convergência de séries, mais especificamente, séries de potências. Para achar o raio de convergência e o intervalo de convergência, vamos precisar aplicar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é o Raio de Convergência. Ele indica até onde a série converge em relação ao ponto central, que nesse caso é x = 1. Já o Intervalo de Convergência é o conjunto de valores de x para os quais a série converge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série pelo limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é: se limn to infty | an+1an | < 1, a série converge.

Passo 4

Vamos identificar o termo geral da série: an = n3^n(x-1)^n. Agora, calculamos o termo seguinte: an+1 = n+13^n+1(x-1)^n+1.

Passo 5

Então, o quociente | an+1an | fica:
| n+13^n+1(x-1)^n+1n3^n(x-1)^n | = | n+1n cdot 13 cdot (x-1) | = (1 + 1n) cdot |x-1|3

Passo 6

Agora, tiramos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty (1 + 1n) cdot |x-1|3 = 1 cdot |x-1|3 = |x-1|3
Para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:
|x-1|3 < 1

Passo 7

Resolvendo a desigualdade:
|x-1| < 3
Isso significa que:
-3 < x - 1 < 3 Rightarrow -2 < x < 4
Então, o Raio de Convergência R é 3, e o Intervalo de Convergência é (-2, 4).

Resposta

O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é -2 < x < 4.

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