Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma série do tipo . A matéria que vamos usar pra resolver isso é convergência de séries, mais especificamente, séries de potências. Para achar o raio de convergência e o intervalo de convergência, vamos precisar aplicar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é o Raio de Convergência. Ele indica até onde a série converge em relação ao ponto central, que nesse caso é . Já o Intervalo de Convergência é o conjunto de valores de para os quais a série converge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série pelo limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é: se , a série converge.

Passo 4

Vamos identificar o termo geral da série: . Agora, calculamos o termo seguinte: .

Passo 5

Então, o quociente fica:

Passo 6

Agora, tiramos o limite quando tende ao infinito:
Para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:

Passo 7

Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que:
Então, o Raio de Convergência é , e o Intervalo de Convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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