Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função . Isso significa que vamos escrever essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Além disso, vamos determinar o raio de convergência, que é o valor que nos diz até onde essa série funciona bem. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função para simplificar a expressão. O denominador é . Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -10 e somados dão -3.
Fazendo as contas:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração usando frações parciais. Queremos escrever na forma:
Para encontrar os valores de e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos resolver para e :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Agora, vamos escrever cada termo como uma série de potências. Para isso, vamos manipular cada fração de forma a caber na fórmula da série geométrica:
Primeiro, para o termo :
Então, utilizando a série geométrica:
Para o termo :

Passo 5

Agora, vamos somar as duas séries para obter a representação completa:
Para determinar o raio de convergência, observamos que cada série geométrica converge quando o módulo da razão é menor que 1:
  • Para o primeiro termo:
  • Para o segundo termo:
O raio de convergência será o menor desses valores, ou seja, 2.

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o raio de convergência dessa série é 2.

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