Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função . Isso significa que vamos escrever essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Além disso, vamos determinar o raio de convergência, que é o valor que nos diz até onde essa série funciona bem. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função para simplificar a expressão. O denominador é . Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -10 e somados dão -3.
Fazendo as contas:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração usando frações parciais. Queremos escrever na forma:
Para encontrar os valores de e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos resolver para e :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Agora, vamos escrever cada termo como uma série de potências. Para isso, vamos manipular cada fração de forma a caber na fórmula da série geométrica:
Primeiro, para o termo :
Então, utilizando a série geométrica:
Para o termo :
Passo 5
Agora, vamos somar as duas séries para obter a representação completa:
Para determinar o raio de convergência, observamos que cada série geométrica converge quando o módulo da razão é menor que 1:
Para o primeiro termo: →
Para o segundo termo: →
O raio de convergência será o menor desses valores, ou seja, 2.