Teste a convergência ou divergência das séries

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de teoria de séries, especialmente séries alternadas, que são aquelas que têm termos que mudam de sinal alternadamente.

Passo 2

Vamos observar os termos da série: . Primeiro, precisamos analisar o comportamento de quando cresce. Sabemos que, para valores pequenos de , . Então, quando é grande, é muito pequeno, e podemos aproximar:

Passo 3

Substituindo essa aproximação na nossa série, temos:
Isso nos leva a dividir a série original em duas partes:

Passo 4

Vamos analisar cada uma dessas séries separadamente:
  1. Série : Essa é uma série alternada cujo termo geral é simplesmente . Os termos não tendem a zero quando aumenta, já que alternam entre e . Segundo o critério da série alternada, se o limite dos termos não for zero, a série diverge.
  2. Série : Aqui, temos uma série alternada com termos que tendem a zero e são decrescentes em módulo, já que aumenta sem limite. Além disso, a série é uma série p com , que é conhecida por converger. Portanto, essa parte da série original também converge.

Passo 5

Voltando à nossa série original, temos que:
  • A primeira parte ( ) diverge.
  • A segunda parte ( ) converge.
No entanto, se uma parte da série diverge, a série inteira não pode convergir, mesmo que a outra parte converja. Portanto, a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha onde é a curva dada:
, C consiste nos segmentos de reta de a
Teste a convergência ou divergência das séries
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de . ,