Teste a convergência ou divergência das séries sum(-1)^n cos (2 / n^3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar se a série infinita sum (-1)^n cos (dfrac2n^3) converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de teoria de séries, especialmente séries alternadas, que são aquelas que têm termos que mudam de sinal alternadamente.

Passo 2

Vamos observar os termos da série: an = (-1)^n cos (dfrac2n^3). Primeiro, precisamos analisar o comportamento de cos (dfrac2n^3) quando n cresce. Sabemos que, para valores pequenos de x, cos(x) approx 1 - dfracx^22. Então, quando n é grande, dfrac2n^3 é muito pequeno, e podemos aproximar:
cos (dfrac2n^3) approx 1 - dfrac(2/n^3)^22 = 1 - dfrac2n^6

Passo 3

Substituindo essa aproximação na nossa série, temos:
an approx (-1)^n (1 - dfrac2n^6) = (-1)^n - dfrac2(-1)^nn^6
Isso nos leva a dividir a série original em duas partes:
sum (-1)^n cos (dfrac2n^3) approx sum (-1)^n - 2 sum dfrac(-1)^nn^6

Passo 4

Vamos analisar cada uma dessas séries separadamente:
  1. Série sum (-1)^n: Essa é uma série alternada cujo termo geral é simplesmente (-1)^n. Os termos não tendem a zero quando n aumenta, já que alternam entre 1 e -1. Segundo o critério da série alternada, se o limite dos termos não for zero, a série diverge.
  2. Série sum dfrac(-1)^nn^6: Aqui, temos uma série alternada com termos que tendem a zero e são decrescentes em módulo, já que n^6 aumenta sem limite. Além disso, a série sum dfrac1n^6 é uma série p com p=6>1, que é conhecida por converger. Portanto, essa parte da série original também converge.

Passo 5

Voltando à nossa série original, temos que:
  • A primeira parte ( sum (-1)^n) diverge.
  • A segunda parte ( 2 sum dfrac(-1)^nn^6) converge.
No entanto, se uma parte da série diverge, a série inteira não pode convergir, mesmo que a outra parte converja. Portanto, a série original sum (-1)^n cos (dfrac2n^3) diverge.

Resposta

A série sum (-1)^n cos (dfrac2n^3) diverge.

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