Teste a convergência ou divergência das séries
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de teoria de séries, especialmente séries alternadas, que são aquelas que têm termos que mudam de sinal alternadamente.
Passo 2
Vamos observar os termos da série:
. Primeiro, precisamos analisar o comportamento de
quando
cresce. Sabemos que, para valores pequenos de
,
. Então, quando
é grande,
é muito pequeno, e podemos aproximar:
Passo 3
Substituindo essa aproximação na nossa série, temos:
Isso nos leva a dividir a série original em duas partes:
Passo 4
Vamos analisar cada uma dessas séries separadamente:
-
Série
: Essa é uma série alternada cujo termo geral é simplesmente . Os termos não tendem a zero quando aumenta, já que alternam entre e . Segundo o critério da série alternada, se o limite dos termos não for zero, a série diverge. -
Série
: Aqui, temos uma série alternada com termos que tendem a zero e são decrescentes em módulo, já que aumenta sem limite. Além disso, a série é uma série p com , que é conhecida por converger. Portanto, essa parte da série original também converge.
Passo 5
Voltando à nossa série original, temos que:
- A primeira parte (
) diverge. - A segunda parte (
) converge.
No entanto, se uma parte da série diverge, a série inteira não pode convergir, mesmo que a outra parte converja. Portanto, a série original
diverge.
Resposta
A série
diverge.
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é a curva dada:
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a
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.
,