Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
é o segmento de reta de a

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai do ponto até . Esse tipo de integral faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente das integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , ou seja, expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro, geralmente chamado , que varia de 0 a 1 ao longo do segmento de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a parametrização da reta que liga os pontos a . A fórmula geral para parametrizar uma reta que vai de um ponto a outro ponto é:
onde varia de 0 a 1. Então, aplicando isso aos nossos pontos:
Portanto, as componentes são:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. Para isso, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas das componentes em relação a :
Agora, substituindo na fórmula de :

Passo 4

A integral de linha pode ser reescrita em termos do parâmetro :
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 7

Somando todas as integrais:
Multiplicando pela :

Resposta

A integral de linha vale .

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Calcule as seguintes integrais definidas:
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;
Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas: