Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC z y^2 d s, C é o segmento de reta de (3,1,2) a (1,2,5)

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai do ponto até . Esse tipo de integral faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente das integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , ou seja, expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro, geralmente chamado , que varia de 0 a 1 ao longo do segmento de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a parametrização da reta que liga os pontos r(t) = A + t(B - A) a r(t) = (3,1,2) + t[(1-3, 2-1, 5-2)] = (3,1,2) + t(-2,1,3) . A fórmula geral para parametrizar uma reta que vai de um ponto x(t) = 3 - 2t a outro ponto y(t) = 1 + t é:
z(t) = 2 + 3t
onde varia de 0 a 1. Então, aplicando isso aos nossos pontos:
Portanto, as componentes são:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt , que representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. Para isso, usamos a fórmula:
dxdt = -2
Vamos calcular as derivadas das componentes em relação a dydt = 1 :
dzdt = 3
ds = raiz(-2)^2 + (1)^2 + (3)^2 , dt = raiz4 + 1 + 9 , dt = raiz14 , dt
Agora, substituindo na fórmula de :

Passo 4

A integral de linha integral0^1 z(t) cdot [y(t)]^2 cdot ds pode ser reescrita em termos do parâmetro integral0^1 (2 + 3t) cdot (1 + t)^2 cdot raiz14 , dt :
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(2 + 3t)(1 + t)^2 = (2 + 3t)(1 + 2t + t^2) = 2(1 + 2t + t^2) + 3t(1 + 2t + t^2) = 2 + 4t + 2t^2 + 3t + 6t^2 + 3t^3 = 2 + 7t + 8t^2 + 3t^3
Então, a integral fica:
raiz14 integral0^1 (2 + 7t + 8t^2 + 3t^3) , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
raiz14 [ integral0^1 2 , dt + integral0^1 7t , dt + integral0^1 8t^2 , dt + integral0^1 3t^3 , dt ]
Calculando cada integral:
integral0^1 2 , dt = 2t gr|0^1 = 2
integral0^1 7t , dt = 72t^2 gr|0^1 = 72
integral0^1 8t^2 , dt = 83t^3 gr|0^1 = 83
integral0^1 3t^3 , dt = 34t^4 gr|0^1 = 34

Passo 7

Somando todas as integrais:
2 + 72 + 83 + 34 = 2412 + 4212 + 3212 + 912 = 10712
Multiplicando pela raiz14 cdot 10712 = 107 raiz1412 :

Resposta

A integral de linha vale .

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