Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. é o segmento de reta de a
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai do ponto até . Esse tipo de integral faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente das integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , ou seja, expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro, geralmente chamado , que varia de 0 a 1 ao longo do segmento de reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a parametrização da reta que liga os pontos a . A fórmula geral para parametrizar uma reta que vai de um ponto a outro ponto é:
onde varia de 0 a 1. Então, aplicando isso aos nossos pontos:
Portanto, as componentes são:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar , que representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. Para isso, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas das componentes em relação a :
Agora, substituindo na fórmula de :
Passo 4
A integral de linha pode ser reescrita em termos do parâmetro :