Calcule as seguintes integrais definidas:
integralpi / 6^pi / 3 d thetasen 2 theta

Passo 1

Vamos calcular uma integral definida que envolve uma função trigonométrica. O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Integral, mais especificamente integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição adequada.

Passo 2

A integral que temos é:
integralpi / 6^pi / 3 1sin 2theta , dtheta
Primeiro, vamos simplificar o denominador usando a identidade trigonométrica: sin 2theta = 2 sintheta costheta.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, ficamos com:
integralpi / 6^pi / 3 12 sintheta costheta , dtheta = 12 integralpi / 6^pi / 3 1sintheta costheta , dtheta

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir u = 2theta, então du = 2 , dtheta ou dtheta = du2.

Passo 5

Com a substituição, os limites de integração também mudam:
  • Quando theta = pi/6, então u = pi/3
  • Quando theta = pi/3, então u = 2pi/3

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
12 integralpi/3^2pi/3 1sin u cdot du2 = 14 integralpi/3^2pi/3 csc u , du

Passo 7

Sabemos que a integral de csc u é - ln |csc u + cot u| + C. Aplicando isso, temos:
14 [ -ln |csc u + cot u| ]pi/3^2pi/3

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores nos limites:
Para u = 2pi/3:
  • csc(2pi/3) = 2raiz3
  • cot(2pi/3) = -1raiz3
  • Então, csc(2pi/3) + cot(2pi/3) = 1raiz3
Para u = pi/3:
  • csc(pi/3) = 2raiz3
  • cot(pi/3) = 1raiz3
  • Então, csc(pi/3) + cot(pi/3) = raiz3

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão, temos:
14 [ -ln(1raiz3) + ln(raiz3) ] = 14 [ ln(raiz3) - ln(1raiz3) ]

Passo 10

Simplificando os logaritmos:
ln(raiz3) - ln(1raiz3) = ln(raiz3) + ln(raiz3) = 2 ln(raiz3) = ln 3
Portanto, a integral fica:
14 ln 3 = 12 ln raiz3

Resposta

O valor da integral é 12 ln 3.

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