Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Vamos calcular uma integral definida que envolve uma função trigonométrica. O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Integral, mais especificamente integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição adequada.
Passo 2
A integral que temos é:
Primeiro, vamos simplificar o denominador usando a identidade trigonométrica:
.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral, ficamos com:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir
, então
ou
.
Passo 5
Com a substituição, os limites de integração também mudam:
- Quando
, então - Quando
, então
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Passo 7
Sabemos que a integral de
é
. Aplicando isso, temos:
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores nos limites:
Para
:
-
-
- Então,
Para
:
-
-
- Então,
Passo 9
Substituindo esses valores na expressão, temos:
Passo 10
Simplificando os logaritmos:
Portanto, a integral fica:
Resposta
O valor da integral é
.