Calcule as seguintes integrais definidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral definida de de 0 a 1. Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de integração como a integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica para integrar a função inversa da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é: Aqui, precisamos escolher partes da nossa integral para serem e . No nosso caso, vamos deixar: - (a função que queremos derivar) - (a parte que vamos integrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular e : - Derivando , temos: - Integrando , temos:

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes: Substituindo os valores que encontramos: Agora, vamos calcular cada parte: 1. Avaliando de 0 a 1: 2. Calculando a integral restante: Fazendo uma substituição simples , então , ou seja, . Assim: Avaliando de 0 a 1:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

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