Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral definida de
de 0 a 1. Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de integração como a integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica para integrar a função inversa da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher partes da nossa integral para serem
e
. No nosso caso, vamos deixar:
-
(a função que queremos derivar) -
(a parte que vamos integrar)
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivando
, temos: -
Integrando
, temos:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Agora, vamos calcular cada parte:
-
Avaliando
de 0 a 1:uv [ x cdot tg^-1 x ]0^1 = (1 cdot tg^-1 1) - (0 cdot tg^-1 0) = pi4 - 0 = pi4 -
Calculando a integral restante:
integral0^1 x1 + x^2 dx Fazendo uma substituição simples , entãou = 1 + x^2 , ou seja,du = 2x dx . Assim:x dx = du2 integral x1 + x^2 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln(1 + x^2) + C Avaliando de 0 a 1:12 [ ln(2) - ln(1) ] = 12 ln 2
Resposta
Portanto, o valor da integral é: