Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^1 tg^-1 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral definida de tg^-1 x de 0 a 1. Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de integração como a integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica para integrar a função inversa da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher partes da nossa integral para serem u e dv. No nosso caso, vamos deixar:
  • u = tg^-1 x (a função que queremos derivar)
  • dv = dx (a parte que vamos integrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u = tg^-1 x, temos:
    du = 11 + x^2 dx
  • Integrando dv = dx, temos:
    v = x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^1 tg^-1 x , dx = uv |0^1 - integral0^1 v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= [ x cdot tg^-1 x ]0^1 - integral0^1 x cdot 11 + x^2 dx
Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Avaliando uv de 0 a 1:
    [ x cdot tg^-1 x ]0^1 = (1 cdot tg^-1 1) - (0 cdot tg^-1 0) = pi4 - 0 = pi4
  2. Calculando a integral restante:
    integral0^1 x1 + x^2 dx
    Fazendo uma substituição simples u = 1 + x^2, então du = 2x dx, ou seja, x dx = du2. Assim:
    integral x1 + x^2 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln(1 + x^2) + C
    Avaliando de 0 a 1:
    12 [ ln(2) - ln(1) ] = 12 ln 2

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
pi4 - 12 ln 2

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