Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. integralC x y d s, C é a metade direita do círculo x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza! Então, a gente precisa calcular uma integral de linha. A integral que vamos resolver é integralC x y , d s, onde C é a metade direita do círculo x^2+y^2=16. Isso envolve cálculo de integrais em curvas e geometria de curvas. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e expressar d s em termos do parâmetro escolhido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. É a metade direita do círculo x^2 + y^2 = 16, que tem raio 4. Como é a metade direita, vamos considerar x >= 0. Para parametrizar, vamos usar o ângulo theta, variando de -pi2 a pi2.
A parametrização fica:
x = 4 cos theta
y = 4 sin theta

Passo 3

Agora, precisamos achar d s, que representa um elemento de comprimento na curva. Sabemos que:
d s = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta
Calculando as derivadas:
dxdtheta = -4 sin theta
dydtheta = 4 cos theta
Então:
d s = raiz(-4 sin theta)^2 + (4 cos theta)^2 , dtheta = raiz16 sin^2theta + 16 cos^2theta , dtheta = raiz16 (sin^2theta + cos^2theta) , dtheta = 4 , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x, y e d s na integral original:
integralC x y , d s = integral-pi2^pi2 (4 cos theta)(4 sin theta) cdot 4 , dtheta = 4 cdot 4 cdot 4 integral-pi2^pi2 cos theta sin theta , dtheta = 64 integral-pi2^pi2 cos theta sin theta , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a integral integral cos theta sin theta , dtheta. Podemos usar a identidade trigonométrica:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta implies sin theta cos theta = 12 sin 2theta
Então:
64 integral-pi2^pi2 cos theta sin theta , dtheta = 64 cdot 12 integral-pi2^pi2 sin 2theta , dtheta = 32 integral-pi2^pi2 sin 2theta , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar sin 2theta:
integral sin 2theta , dtheta = -12 cos 2theta + C
Aplicando os limites:
32 [ -12 cos 2theta ]-pi2^pi2 = -16 ( cos pi - cos (-pi) ) = -16 ( -1 - (-1) ) = -16 (0) = 0

Resposta

A integral de linha integralC x y , d s sobre a metade direita do círculo x^2+y^2=16 é igual a 0.

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