Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é a metade direita do círculo
.
Passo 1
Beleza! Então, a gente precisa calcular uma integral de linha. A integral que vamos resolver é
, onde
é a metade direita do círculo
. Isso envolve cálculo de integrais em curvas e geometria de curvas. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e expressar
em termos do parâmetro escolhido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. É a metade direita do círculo
, que tem raio
. Como é a metade direita, vamos considerar
. Para parametrizar, vamos usar o ângulo
, variando de
a
.
A parametrização fica:
Passo 3
Agora, precisamos achar
, que representa um elemento de comprimento na curva. Sabemos que:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar a integral
. Podemos usar a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Aplicando os limites:
Resposta
A integral de linha
sobre a metade direita do círculo
é igual a 0.
Exercícios relacionados
A região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pelas retas
e
é girada em torno do eixo
. Calcule o volume do sólido resultante.
Desenhe as regiões
limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
.
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
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Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
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