Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. é a metade direita do círculo .

Passo 1

Beleza! Então, a gente precisa calcular uma integral de linha. A integral que vamos resolver é , onde é a metade direita do círculo . Isso envolve cálculo de integrais em curvas e geometria de curvas. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e expressar em termos do parâmetro escolhido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . É a metade direita do círculo , que tem raio . Como é a metade direita, vamos considerar . Para parametrizar, vamos usar o ângulo , variando de a .
A parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos achar , que representa um elemento de comprimento na curva. Sabemos que:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos , e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a integral . Podemos usar a identidade trigonométrica:
Então:

Passo 6

Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites:

Resposta

A integral de linha sobre a metade direita do círculo é igual a 0.

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