Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a expressão
, onde
é um campo vetorial. Nosso objetivo é descobrir se essa expressão faz sentido matematicamente e, se sim, dizer se ela representa um campo vetorial ou escalar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente (div) e rotacional (rot).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial, representado por
. O rotacional de
mede a tendência do campo em “girar” ao redor de um ponto. Matematicamente, em coordenadas tridimensionais, ele é dado por:
Então, o rotacional de
resulta em outro campo vetorial.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que é a divergente de um campo vetorial, representada por
, onde
é um campo vetorial. A divergente mede a “taxa de expansão” ou “convergência” do campo em cada ponto. Em coordenadas tridimensionais, é calculada por:
A divergente de um campo vetorial resulta em um campo escalar, ou seja, atribui um valor numérico a cada ponto no espaço.
Passo 4
Agora, vamos juntar as duas operações na expressão
. Primeiro, calculamos o rotacional de
, que nos dá um novo campo vetorial. Em seguida, aplicamos a divergente nesse novo campo vetorial.
Importante lembrar de uma propriedade fundamental do cálculo vetorial:
Isso significa que, independentemente do campo vetorial
que você escolher, a divergente do seu rotacional sempre será zero. Essa é uma identidade importante que surge da definição das operações de divergente e rotacional.
Resposta
A expressão
tem significado e resulta em um campo escalar. Além disso, de acordo com a identidade do cálculo vetorial, esse campo escalar é sempre igual a zero.