Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem um campo escalar e um campo vetorial . A tarefa é verificar se a expressão faz sentido matematicamente. Se fizer, precisamos dizer se o resultado é um campo vetorial ou escalar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente, divergente e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar a expressão em partes para entender cada componente. Temos:
  1. : Vamos assumir que é uma constante escalar.
  2. : Isso representa o gradiente de , que é um campo vetorial.
  3. : Isso é a divergente de , que é um campo escalar.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Multiplicar um escalar por um vetor é uma operação válida em álgebra vetorial. Então, resulta em outro vetor.

Passo 4

Em seguida, temos o produto vetorial entre e . O produto vetorial é definido entre dois vetores e resulta em outro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 5

Vamos verificar as dimensões dos termos envolvidos no produto vetorial:
  • é um vetor.
  • é um escalar.
Aqui está o problema: o produto vetorial só faz sentido entre dois vetores. Você não pode calcular o produto vetorial entre um vetor e um escalar diretamente.

Resposta

A expressão não tem significado porque está tentando calcular o produto vetorial entre um vetor e um escalar, o que não é definido matematicamente.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. é a metade direita do círculo .
A região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pelas retas e é girada em torno do eixo . Calcule o volume do sólido resultante.
Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar. .
Calcule o rotacional e divergente de cada
d)