Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem um campo escalar
e um campo vetorial
. A tarefa é verificar se a expressão
faz sentido matematicamente. Se fizer, precisamos dizer se o resultado é um campo vetorial ou escalar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente, divergente e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos quebrar a expressão em partes para entender cada componente. Temos:
-
: Vamos assumir que é uma constante escalar. -
: Isso representa o gradiente de , que é um campo vetorial. -
: Isso é a divergente de , que é um campo escalar.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Multiplicar um escalar por um vetor é uma operação válida em álgebra vetorial. Então,
resulta em outro vetor.
Passo 4
Em seguida, temos o produto vetorial
entre
e
. O produto vetorial é definido entre dois vetores e resulta em outro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Passo 5
Vamos verificar as dimensões dos termos envolvidos no produto vetorial:
-
é um vetor. -
é um escalar.
Aqui está o problema: o produto vetorial
só faz sentido entre dois vetores. Você não pode calcular o produto vetorial entre um vetor e um escalar diretamente.
Resposta
A expressão
não tem significado porque está tentando calcular o produto vetorial entre um vetor e um escalar, o que não é definido matematicamente.
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é a curva dada.
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.
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, pelo eixo
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e
é girada em torno do eixo
. Calcule o volume do sólido resultante.
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
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Calcule o rotacional e divergente de cada
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