A região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pelas retas
e
é girada em torno do eixo
. Calcule o volume do sólido resultante.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função
, e a região que está entre essa curva, o eixo
e as retas
e
. A ideia é girar essa região em torno do eixo
e calcular o volume do sólido formado. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos cilindros, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos trabalhando. A função
é uma parábola que abre para baixo. Vamos plotar essa função entre
e
e identificar a área que está sendo girada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos cilindros. Esse método nos ajuda a calcular o volume de um sólido de rotação dividindo-o em cilindros infinitamente finos. A fórmula geral para o volume usando esse método quando giramos em torno do eixo
é:
Aqui,
é a distância do cilindro em relação ao eixo de rotação, e
é a altura do cilindro.
Passo 4
Substituindo os valores na f��rmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos calculando um volume definido, não precisamos do
. Avaliamos essa antiderivada de
a
:
Passo 6
Vamos calcular para
:
Agora, para
:
Passo 7
Subtraindo os valores:
Agora, multiplicamos pelo
:
Resposta
O volume do sólido resultante é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Desenhe as regiões
limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
.
Desenhe as regiões
limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
.
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é a metade direita do círculo
.
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
.