A região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pelas retas e é girada em torno do eixo . Calcule o volume do sólido resultante.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função , e a região que está entre essa curva, o eixo e as retas e . A ideia é girar essa região em torno do eixo e calcular o volume do sólido formado. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos cilindros, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos trabalhando. A função é uma parábola que abre para baixo. Vamos plotar essa função entre e e identificar a área que está sendo girada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos cilindros. Esse método nos ajuda a calcular o volume de um sólido de rotação dividindo-o em cilindros infinitamente finos. A fórmula geral para o volume usando esse método quando giramos em torno do eixo é:
Aqui, é a distância do cilindro em relação ao eixo de rotação, e é a altura do cilindro.

Passo 4

Substituindo os valores na f��rmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos calculando um volume definido, não precisamos do . Avaliamos essa antiderivada de a :

Passo 6

Vamos calcular para :
Agora, para :

Passo 7

Subtraindo os valores:
Agora, multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido resultante é unidades cúbicas.

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Desenhe as regiões limitadas pelas curvas e ache o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo .
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Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. é a metade direita do círculo .
Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar. .