Determine o potencial f tal que F=nabla f e calcule a integral de linha integralC F cdot d r: F(x, y, z)=(y z, x z, x y+2 z) onde C é o segmento de reta que de (1,0,-2) a (4,6,3). f(x, y, z)=x y z+z^2+k e a integral é 77 .

Passo 1

Então, vamos ver qual é o problema. A gente precisa encontrar uma função potencial tal que o campo vetorial seja o gradiente de , ou seja, . Além disso, temos que calcular a integral de linha de ao longo do segmento de reta que vai de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a função potencial nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (y z, x z, x y + 2 z) . Sabemos que partial fpartial x = y z (1) , o que significa que:
partial fpartial y = x z (2)
Isso nos dá as seguintes equações parciais:
partial fpartial z = x y + 2 z (3)

Passo 3

Vamos integrar a equação (1) em relação a f = integral y z , dx = x y z + g(y, z) para encontrar :
Aqui, é uma função que depende de e .

Passo 4

Agora, vamos usar a equação (2) para encontrar partial fpartial y = x z + partial gpartial y = x z . Tomando a derivada de partial gpartial y = 0 em relação a :
Isso implica que:
Ou seja, não depende de e pode ser escrito como .

Passo 5

Finalmente, usamos a equação (3) para determinar partial fpartial z = x y + d gd z = x y + 2 z . Derivando d gd z = 2 z implies g(z) = z^2 + C em relação a :
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Juntando tudo, a função potencial f(x, y, z) = x y z + z^2 + C é:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha integralC F cdot d r = f(final) - f(inicial) . Como é um campo conservativo (porque existe uma função potencial ), a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final. A fórmula é:

Passo 8

Vamos calcular f(1, 0, -2) = (1)(0)(-2) + (-2)^2 + C = 0 + 4 + C = 4 + C nos pontos inicial f(4, 6, 3) = (4)(6)(3) + 3^2 + C = 72 + 9 + C = 81 + C e final :
Para :
Para :

Passo 9

Substituindo na fórmula da integral de linha:
integralC F cdot d r = (81 + C) - (4 + C) = 77

Resposta

77

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