Determine o potencial tal que e calcule a integral de linha : onde é o segmento de reta que de a . e a integral é 77 .

Passo 1

Então, vamos ver qual é o problema. A gente precisa encontrar uma função potencial tal que o campo vetorial seja o gradiente de , ou seja, . Além disso, temos que calcular a integral de linha de ao longo do segmento de reta que vai de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a função potencial . Sabemos que , o que significa que:
Isso nos dá as seguintes equações parciais:

Passo 3

Vamos integrar a equação (1) em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende de e .

Passo 4

Agora, vamos usar a equação (2) para encontrar . Tomando a derivada de em relação a :
Isso implica que:
Ou seja, não depende de e pode ser escrito como .

Passo 5

Finalmente, usamos a equação (3) para determinar . Derivando em relação a :
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Juntando tudo, a função potencial é:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha . Como é um campo conservativo (porque existe uma função potencial ), a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final. A fórmula é:

Passo 8

Vamos calcular nos pontos inicial e final :
Para :
Para :

Passo 9

Substituindo na fórmula da integral de linha:

Resposta

77

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