Determine o potencial
tal que
e calcule a integral de linha
:
onde
é o segmento de reta que de
a
.
e a integral é 77 .
Passo 1
Então, vamos ver qual é o problema. A gente precisa encontrar uma função potencial
tal que o campo vetorial
seja o gradiente de
, ou seja,
. Além disso, temos que calcular a integral de linha de
ao longo do segmento de reta
que vai de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a função potencial
. Sabemos que
, o que significa que:
Isso nos dá as seguintes equações parciais:
Passo 3
Vamos integrar a equação (1) em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende de
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar a equação (2) para encontrar
. Tomando a derivada de
em relação a
:
Isso implica que:
Ou seja,
não depende de
e pode ser escrito como
.
Passo 5
Finalmente, usamos a equação (3) para determinar
. Derivando
em relação a
:
Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Juntando tudo, a função potencial
é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de linha
. Como
é um campo conservativo (porque existe uma função potencial
), a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final. A fórmula é:
Passo 8
Vamos calcular
nos pontos inicial
e final
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Substituindo na fórmula da integral de linha:
Resposta
77
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é a metade direita do círculo
.
Calcule a integral de superfície:
onde
é a parte do paraboloide
e que está dentro do cilindro
.
Use o Teorema de Stokes para calcular
:
onde
é a curva da interseção do plano
com o cilindro
com orientação no sentido anti-horário.
.
Determine os pontos críticos das seguintes funções: