Use o Teorema de Stokes para calcular
:
onde
é a curva da interseção do plano
com o cilindro
com orientação no sentido anti-horário.
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
. A curva
é a interseção do plano
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta a integral de linha com uma integral de superfície envolvendo o rotacional de
.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema de Stokes? Ele diz que:
Aqui,
é uma superfície limitada pela curva
,
é o rotacional de
, e
é o vetor normal à superfície
. Então, nossa missão é calcular o rotacional de
e depois fazer a integral de superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional é dado por:
Substituindo
:
Calculando cada derivada:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
limitada por
. Vamos optar pela parte do plano
que está dentro do cilindro
. Assim, nosso plano será parametrizado em termos de
e
, já que
.
Passo 5
O vetor normal ao plano
é dado por
, que é normalizado para facilitar a integração. A orientação anti-horária da curva
assegura que escolhemos a direção correta para
.
Passo 6
Vamos agora calcular a integral de superfície:
Fazendo o produto escalar:
Passo 7
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, já que a região de integração é um círculo de raio 3 (já que
). Nas coordenadas polares, temos:
E
. Assim, a integral fica:
Passo 8
Resolvendo a integral interna:
Agora, a integral externa:
Simplificando, podemos racionalizar o denominador:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Determine o potencial
tal que
e calcule a integral de linha
:
onde
é o segmento de reta que de
a
.
e a integral é 77 .
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é a metade direita do círculo
.
Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Calcule as transformadas inversas das seguintes funções: