Use o Teorema de Stokes para calcular : onde é a curva da interseção do plano com o cilindro com orientação no sentido anti-horário. .

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva é a interseção do plano com o cilindro , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta a integral de linha com uma integral de superfície envolvendo o rotacional de .

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema de Stokes? Ele diz que:
Aqui, é uma superfície limitada pela curva , é o rotacional de , e é o vetor normal à superfície . Então, nossa missão é calcular o rotacional de e depois fazer a integral de superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Substituindo :
Calculando cada derivada:

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície limitada por . Vamos optar pela parte do plano que está dentro do cilindro . Assim, nosso plano será parametrizado em termos de e , já que .

Passo 5

O vetor normal ao plano é dado por , que é normalizado para facilitar a integração. A orientação anti-horária da curva assegura que escolhemos a direção correta para .

Passo 6

Vamos agora calcular a integral de superfície:
Fazendo o produto escalar:

Passo 7

Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, já que a região de integração é um círculo de raio 3 (já que ). Nas coordenadas polares, temos:
E . Assim, a integral fica:

Passo 8

Resolvendo a integral interna:
Agora, a integral externa:
Simplificando, podemos racionalizar o denominador:

Resposta

O valor da integral é .

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