Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r: F(x, y, z)=x^2 z i+x y^2 j+z^2 k onde C é a curva da interseção do plano x+y+z=1 com o cilindro x^2+y^2=9 com orientação no sentido anti-horário. 81 pi2.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = x^2 z i + x y^2 j + z^2 k. A curva C é a interseção do plano x + y + z = 1 com o cilindro x^2 + y^2 = 9, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta a integral de linha com uma integral de superfície envolvendo o rotacional de F.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema de Stokes? Ele diz que:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, S é uma superfície limitada pela curva C, nabla times F é o rotacional de F, e n é o vetor normal à superfície S. Então, nossa missão é calcular o rotacional de F e depois fazer a integral de superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i - ( partial Fzpartial x - partial Fxpartial z ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Substituindo F:
nabla times F = ( partial z^2partial y - partial (x y^2)partial z ) i - ( partial z^2partial x - partial (x^2 z)partial z ) j + ( partial (x y^2)partial x - partial (x^2 z)partial y ) k
Calculando cada derivada:
nabla times F = (0 - 0) i - (0 - x^2) j + (y^2 - 0) k = x^2 j + y^2 k

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S limitada por C. Vamos optar pela parte do plano x + y + z = 1 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9. Assim, nosso plano será parametrizado em termos de x e y, já que z = 1 - x - y.

Passo 5

O vetor normal ao plano x + y + z = 1 é dado por n = 1raiz3(1, 1, 1), que é normalizado para facilitar a integração. A orientação anti-horária da curva C assegura que escolhemos a direção correta para n.

Passo 6

Vamos agora calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (x^2 j + y^2 k) cdot 1raiz3(1, 1, 1) , dS
Fazendo o produto escalar:
= 1raiz3 integral duplaS (x^2 cdot 1 + y^2 cdot 1) , dS = 1raiz3 integral duplaS (x^2 + y^2) , dS

Passo 7

Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, já que a região de integração é um círculo de raio 3 (já que x^2 + y^2 = 9). Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, dS = r , dr , dtheta
E x^2 + y^2 = r^2. Assim, a integral fica:
1raiz3 integral0^2pi integral0^3 r^2 cdot r , dr , dtheta = 1raiz3 integral0^2pi integral0^3 r^3 , dr , dtheta

Passo 8

Resolvendo a integral interna:
integral0^3 r^3 , dr = [ r^44 ]0^3 = 814
Agora, a integral externa:
1raiz3 cdot 814 integral0^2pi dtheta = 814raiz3 cdot 2pi = 81pi2raiz3
Simplificando, podemos racionalizar o denominador:
81pi2raiz3 cdot raiz3raiz3 = 81pi raiz36 = 81pi2

Resposta

O valor da integral é 81,pi2.

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