Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a Transformada de Laplace da função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais e outros problemas. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é dada por:
No nosso caso, , então substituímos na integral:
Passo 3
Agora, para resolver essa integral, vamos usar uma técnica de integração conhecida. Observamos que a função pode ser relacionada à integral de uma função mais simples. De fato, sabemos que:
Isso nos permite reescrever a Transformada de Laplace da seguinte maneira:
Aqui, trocamos a ordem de integração, o que é permitido pelas condições de convergência das integrais envolvidas.
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral interna:
Sabemos que a Transformada de Laplace da função é:
Portanto, substituindo de volta, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral em relação a :
Fazendo uma substituição simples, seja , então , o que nos leva a: