Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular integral duplaS F cdot d S onde:
(a) F(x, y, z)=(3 x, x y, 2 x z) onde S é a superfície do cubo limitado pelos planos x= 0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1 cdot 92.

Passo 1

Beleza, temos um exercício usando o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular a integral de superfície . A função vetorial dada é e é a superfície de um cubo limitado pelos planos , , , , e . Vamos precisar entender o Teorema do Divergente e como aplicá-lo para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Divergente, que nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume do divergente de sobre o volume limitado por . Matematicamente, isso é escrito como:

Passo 3

Vamos calcular o divergente de nabla cdot F = partial (3x)partial x + partial (xy)partial y + partial (2xz)partial z . O divergente partial (3x)partial x = 3 é dado pela soma das derivadas parciais das componentes de partial (xy)partial y = x :
partial (2xz)partial z = 2x
Calculando cada termo:
nabla cdot F = 3 + x + 2x = 3 + 3x
Então:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de volume integral triplaV (3 + 3x) , dV = integral0^1 integral0^1 integral0^4.5 (3 + 3x) , dz , dy , dx . Nosso volume é o cubo limitado por , e .
Podemos separar a integral em termos de , e :

Passo 5

Vamos integrar em relação a integral0^4.5 (3 + 3x) , dz = (3 + 3x) cdot z |0^4.5 = (3 + 3x) cdot 4.5 primeiro:
(3 + 3x) cdot 4.5 = 13.5 + 13.5x
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^1 (13.5 + 13.5x) , dy = (13.5 + 13.5x) cdot y |0^1 = 13.5 + 13.5x :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a integral0^1 (13.5 + 13.5x) , dx = 13.5x + 13.5x^22 |0^1 = 13.5 cdot 1 + 13.5 cdot 12 = 13.5 + 6.75 = 20.25 :

Resposta

A integral de superfície é igual a 20,25.

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