Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular onde:
(a) onde é a superfície do cubo limitado pelos planos .
Passo 1
Beleza, temos um exercício usando o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular a integral de superfície . A função vetorial dada é e é a superfície de um cubo limitado pelos planos , , , , e . Vamos precisar entender o Teorema do Divergente e como aplicá-lo para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Divergente, que nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume do divergente de sobre o volume limitado por . Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 3
Vamos calcular o divergente de . O divergente é dado pela soma das derivadas parciais das componentes de :
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de volume . Nosso volume é o cubo limitado por , e .