Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular onde:
(a) onde é a superfície do cubo limitado pelos planos .
Passo 1
Beleza, temos um exercício usando o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular a integral de superfície . A função vetorial dada é e é a superfície de um cubo limitado pelos planos , , , , e . Vamos precisar entender o Teorema do Divergente e como aplicá-lo para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Divergente, que nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume do divergente de sobre o volume limitado por . Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 3
Vamos calcular o divergente de . O divergente é dado pela soma das derivadas parciais das componentes de :
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de volume . Nosso volume é o cubo limitado por , e .
Podemos separar a integral em termos de , e :
Passo 5
Vamos integrar em relação a primeiro:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos em relação a integral0^1 (13.5 + 13.5x) , dy = (13.5 + 13.5x) cdot y |0^1 = 13.5 + 13.5x :
Passo 7
Por fim, integramos em relação a integral0^1 (13.5 + 13.5x) , dx = 13.5x + 13.5x^22 |0^1 = 13.5 cdot 1 + 13.5 cdot 12 = 13.5 + 6.75 = 20.25 :