Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular onde:
(a) onde é a superfície do cubo limitado pelos planos .

Passo 1

Beleza, temos um exercício usando o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular a integral de superfície . A função vetorial dada é e é a superfície de um cubo limitado pelos planos , , , , e . Vamos precisar entender o Teorema do Divergente e como aplicá-lo para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Divergente, que nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume do divergente de sobre o volume limitado por . Matematicamente, isso é escrito como:

Passo 3

Vamos calcular o divergente de . O divergente é dado pela soma das derivadas parciais das componentes de :
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de volume . Nosso volume é o cubo limitado por , e .
Podemos separar a integral em termos de , e :

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

A integral de superfície é igual a 20,25.

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, onde é a metade direita do círculo .
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(a) e em .
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