Calcule a integral de linha onde C é a curva dada:
(a) integralC y^3 d s, onde C é parametrizado por x=t^3, y=t e t in[0,2] cdot 154(145^32-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha . A curva é parametrizada por e para variando de 0 a 2. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha usando parametrizações. Para resolver, vamos precisar entender como calcular e como parametrizar a integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma expressão para ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Quando a curva está parametrizada por , temos:
Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt(t^3) = 3t^2
dydt = ddt(t) = 1
Agora, substituímos na expressão de ds = raiz(3t^2)^2 + (1)^2 , dt = raiz9t^4 + 1 , dt :

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original:
integralC y^3 , ds = integral0^2 (t)^3 cdot raiz9t^4 + 1 , dt = integral0^2 t^3 raiz9t^4 + 1 , dt
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição para simplificar.

Passo 5

Vamos fazer a substituição dudt = 36t^3 implies dt = du36t^3 . Então, derivando:
integral t^3 raizu cdot du36t^3 = 136 integral raizu , du
Substituindo na integral:
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de calcular.

Passo 6

Calculando a nova integral:
136 integral raizu , du = 136 cdot 23 u^3/2 + C = 154 u^3/2 + C
Agora, voltamos à variável original .

Passo 7

Substituindo 154 (9t^4 + 1)^3/2 + C :
154 (9t^4 + 1)^3/2 |0^2 = 154 ( (9 cdot 16 + 1)^3/2 - (9 cdot 0 + 1)^3/2 )
Avaliado de 9 cdot 16 + 1 = 145 e 9 cdot 0 + 1 = 1 a 154 (145^3/2 - 1^3/2) = 154 (raiz145^3 - 1) = 154 (145^32 - 1) :
Calculando os valores:
Portanto:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo.
(q) lim x +infty(1+17 x)^x
Usando integração por parte determine as seguinte fórmulas de recorrência:
& (a) integral cos ^n(x) d x=cos ^n-1(x) sen(x)n+n-1n integral cos ^n-2(x) d x, n=1,2, ldots & (b) integral sen^n(x) d x=-sen^n-1(x) cos (x)n+n-1n integral sen^n-2(x) d x, n=1,2, ldots
Determine a para que a função dada seja contínua:
(b) f(x) = { (x^2 - 5x + 6) / (x - 2) se x != 2, a se x = 2 }.
Determine a para que a função dada seja contínua:
(e) f(x) = { raiz(x) se x ≥ 0, 2 - x se x < 0 }.