Calcule a integral de linha onde é a curva dada:
(a) , onde é parametrizado por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha . A curva é parametrizada por e para variando de 0 a 2. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha usando parametrizações. Para resolver, vamos precisar entender como calcular e como parametrizar a integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma expressão para , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Quando a curva está parametrizada por , temos:
Vamos calcular e .
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos na expressão de :
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral original:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição para simplificar.
Passo 5
Vamos fazer a substituição . Então, derivando:
Substituindo na integral:
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de calcular.