Usando integração por parte determine as seguinte fórmulas de recorrência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar as fórmulas de recorrência usando integração por partes. O que vai rolar aqui é aplicar a técnica de integração por partes nas integrais de
e . Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e como escolher bem as partes que vamos integrar e derivar.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a):
. A ideia é aplicar a integração por partes, que na prática diz que
. Precisamos escolher
e
de forma estratégica. Vamos deixar
e
. Assim, vamos derivar
para encontrar
e integrar
para achar
.
Passo 3
Calculando
e
:
- Derivando
: . - Integrando
: .
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Essa é a fórmula de recorrência para
.
Passo 5
Agora, vamos para o item (b): . Vamos repetir o processo de integração por partes. Escolhemos e .
Passo 6
Calculando
e
:
- Derivando
: . - Integrando
: .
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Essa é a fórmula de recorrência para .
Resposta
As fórmulas de recorrência são:
(a)
(b)
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.
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(q)
(q)
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(a) , onde
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.
(a)