Usando integração por parte determine as seguinte fórmulas de recorrência:
& (a) integral cos ^n(x) d x=cos ^n-1(x) sen(x)n+n-1n integral cos ^n-2(x) d x, n=1,2, ldots & (b) integral sen^n(x) d x=-sen^n-1(x) cos (x)n+n-1n integral sen^n-2(x) d x, n=1,2, ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar as fórmulas de recorrência usando integração por partes. O que vai rolar aqui é aplicar a técnica de integração por partes nas integrais de e . Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e como escolher bem as partes que vamos integrar e derivar.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a): . A ideia é aplicar a integração por partes, que na prática diz que . Precisamos escolher e de forma estratégica. Vamos deixar e . Assim, vamos derivar para encontrar e integrar para achar .

Passo 3

Calculando e :
  • Derivando : .
  • Integrando : .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Essa é a fórmula de recorrência para integral cos^n(x) , dx = u cdot v - integral v , du = cos^n-1(x) sen(x) - integral sen(x) cdot [-(n-1) cos^n-2(x) sen(x)] , dx .

Passo 5

Agora, vamos para o item (b): . Vamos repetir o processo de integração por partes. Escolhemos e .

Passo 6

Calculando e :
  • Derivando : .
  • Integrando : .

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Essa é a fórmula de recorrência para .

Resposta

As fórmulas de recorrência são:
(a)
(b)

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