Calcule a integral de linha onde é a curva dada: , onde é parametrizado por .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde é uma curva parametrizada por e para . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a integral de linha em parametrizações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a integral de linha . Essa integral representa a soma ponderada de ao longo da curva , onde é um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Para calcular essa integral, vamos usar a fórmula da integral de linha em termos de parametrização. Se a curva é parametrizada por e para , então:

Passo 4

No nosso caso, temos:
Portanto, vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da integral de linha:

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar:

Passo 7

Substituindo na integral, temos:

Passo 8

A integral de em relação a é:

Passo 9

Voltando à variável original :

Passo 10

Calculando nos limites de e :
Para :
Para :

Passo 11

Substituindo esses valores:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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