Calcule a integral de linha onde C é a curva dada: integralC y^3 d s, onde C é parametrizado por x=t^3, y=t e t in[0,2] cdot 154(145^32-1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde é uma curva parametrizada por e para . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a integral de linha em parametrizações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a integral de linha . Essa integral representa a soma ponderada de ao longo da curva , onde é um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Para calcular essa integral, vamos usar a fórmula da integral de linha em termos de parametrização. Se a curva integralC y^3 , d s = integrala^b ( g(t) )^3 raiz( d f(t)d t )^2 + ( d g(t)d t )^2 , d t é parametrizada por e para , então:

Passo 4

No nosso caso, temos:
f(t) = t^3 e g(t) = t
Portanto, vamos calcular as derivadas de d f(t)d t = 3 t^2 e d g(t)d t = 1 e em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da integral de linha:
integral0^2 ( t )^3 raiz(3 t^2)^2 + (1)^2 , d t = integral0^2 t^3 raiz9 t^4 + 1 , d t

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar:
u = 9 t^4 + 1 Rightarrow d ud t = 36 t^3 Rightarrow d t = d u36 t^3

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
integral t^3 raizu cdot d u36 t^3 = 136 integral raizu , d u

Passo 8

A integral de 136 cdot 23 u^3/2 + C = 154 u^3/2 + C em relação a é:

Passo 9

Voltando à variável original 154 (9 t^4 + 1)^3/2 gr|0^2 :

Passo 10

Calculando nos limites de 9 (2)^4 + 1 = 9 cdot 16 + 1 = 144 + 1 = 145 e 9 (0)^4 + 1 = 0 + 1 = 1 :
Para :
Para :

Passo 11

Substituindo esses valores:
154 (145^3/2 - 1^3/2) = 154 (145^3/2 - 1)

Resposta

A integral de linha é igual a .

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