Calcule a integral de linha onde é a curva dada: , onde é parametrizado por .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde é uma curva parametrizada por e para . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a integral de linha em parametrizações.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a integral de linha . Essa integral representa a soma ponderada de ao longo da curva , onde é um elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Para calcular essa integral, vamos usar a fórmula da integral de linha em termos de parametrização. Se a curva é parametrizada por e para , então:
Passo 4
No nosso caso, temos:
Portanto, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da integral de linha:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar: