Use o Teorema de Green para calcular:
(a)
onde
é o círculo de centro na origem e raio
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
é um círculo com centro na origem e raio
. Para isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green transforma integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora precisamos calcular a área da região
, que é um círculo de raio
. A área de um círculo é dada por:
Substituindo o valor do raio:
Passo 5
Voltando à integral dupla:
Resposta
O valor da integral
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é o arco da curva
de
a
.
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é parametrizado por
.
Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço:
para
.
Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular
onde
onde
é a superfície do cubo limitado pelos planos
.