Use o Teorema de Green para calcular:
(a) ointC(x-y) d x+(x+y) d y onde C é o círculo de centro na origem e raio 2.8 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é um círculo com centro na origem e raio . Para isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green transforma integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que diz que para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA que delimita uma região , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x + y) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(x - y) = -1
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
ointC (x - y) dx + (x + y) dy = integral duplaD (1 - (-1)) dA = integral duplaD 2 , dA

Passo 4

Agora precisamos calcular a área da região Área = pi r^2 , que é um círculo de raio Área = pi (2.8pi)^2 = pi times 7.84pi^2 = 7.84pi^3 . A área de um círculo é dada por:
Á
Substituindo o valor do raio:
Á

Passo 5

Voltando à integral dupla:
integral duplaD 2 , dA = 2 times Área = 2 times 7.84pi^3 = 15.68pi^3 Á

Resposta

O valor da integral é .

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