Use o Teorema de Green para calcular:
(a) onde é o círculo de centro na origem e raio .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é um círculo com centro na origem e raio . Para isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green transforma integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que diz que para uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora precisamos calcular a área da região , que é um círculo de raio . A área de um círculo é dada por:
Á
Substituindo o valor do raio:
Á

Passo 5

Voltando à integral dupla:
Á

Resposta

O valor da integral é .

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