Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é o arco da curva
de
a
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular uma integral de linha. A integral é dada por:
Aqui, a curva
é o arco da função
, indo do ponto
até
, e o resultado esperado é
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
, podemos expressar
em termos de
:
Assim, podemos usar
como parâmetro. Portanto, nossa parametrização fica:
Como
vai de 1 a 2 (já que estamos indo de
a
), temos:
Passo 3
Agora, precisamos substituir
e
na integral original. Como
, temos:
Além disso, como estamos parametrizando em termos de
,
permanece igual. Substituindo na integral:
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada uma separadamente:
Para
:
Para
:
Agora, avaliamos de 1 a 2:
Calculando os valores:
Então:
Convertendo para fração:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é parametrizado por
.
Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
.
Use o Teorema de Green para calcular:
(a) onde
é o círculo de centro na origem e raio
.
(a)
Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço:
para
.