Calcule a integral de linha onde é a curva dada: , onde é o arco da curva de a .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral de linha. A integral é dada por:
Aqui, a curva é o arco da função , indo do ponto até , e o resultado esperado é . Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como , podemos expressar em termos de :
Assim, podemos usar como parâmetro. Portanto, nossa parametrização fica:
Como vai de 1 a 2 (já que estamos indo de a ), temos:

Passo 3

Agora, precisamos substituir e na integral original. Como , temos:
Além disso, como estamos parametrizando em termos de , permanece igual. Substituindo na integral:
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada uma separadamente:
Para :
Para :
Agora, avaliamos de 1 a 2:
Calculando os valores:
Então:
Convertendo para fração:

Resposta

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Calcule a integral de linha onde é a curva dada: , onde é parametrizado por .
Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido: .
Use o Teorema de Green para calcular:
(a) onde é o círculo de centro na origem e raio .
Encontre a equação cartesiana da curva parametrizada e faça um esboço: para .