Calcule a integral de linha onde C é a curva dada: integralC(x^2 y^3-raizx) d y, onde C é o arco da curva y=raizx de (1,1) a (4,2) cdot 2438.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral de linha. A integral é dada por:
integralC(x^2 y^3-raizx) dy
Aqui, a curva é o arco da função , indo do ponto até , e o resultado esperado é . Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = y^2 . Como x(y) = y^2 , podemos expressar y in [1, 2] em termos de :
Assim, podemos usar como parâmetro. Portanto, nossa parametrização fica:
Como vai de 1 a 2 (já que estamos indo de a ), temos:

Passo 3

Agora, precisamos substituir x^2 = (y^2)^2 = y^4 e integralC(x^2 y^3-raizx) dy = integral1^2(y^4 cdot y^3 - raizy^2) dy na integral original. Como y^4 cdot y^3 = y^7 , temos:
raizy^2 = y
Além disso, como estamos parametrizando em termos de integral1^2(y^7 - y) dy , permanece igual. Substituindo na integral:
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
integral1^2(y^7 - y) dy = integral1^2 y^7 dy - integral1^2 y , dy
Calculando cada uma separadamente:
Para integral y^7 dy = y^88 + C :
integral y , dy = y^22 + C
Para [y^88]1^2 - [y^22]1^2 = (2^88 - 1^88) - (2^22 - 1^22) :
2568 - 18 = 32 - 0,125 = 31,875
Agora, avaliamos de 1 a 2:
42 - 12 = 2 - 0,5 = 1,5
Calculando os valores:
31,875 - 1,5 = 30,375
30,375 = 2438
Então:
Convertendo para fração:

Resposta

2438

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