Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido: x = 6 sen(t) e y = t^2 + t em t = 0. y = 1/6 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente a uma curva parametrizada no ponto onde . A curva está definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a reta tangente a uma curva parametrizada em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Substituindo nas equações paramétricas:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos calcular a derivada de em relação a no ponto . Usamos a regra da cadeia para derivadas parametrizadas:
Vamos calcular e .

Passo 4

Derivando em relação a :
E derivando em relação a :
Agora, substituímos nas derivadas:

Passo 5

Agora, calculamos a inclinação da reta tangente:
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a forma da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto.

Passo 6

Substituindo os valores:
Simplificando, temos:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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