Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva . A integral que queremos resolver é:
Aqui, representa um pequeno segmento de comprimento ao longo da curva . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e a fórmula para integrais de linha em coordenadas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . A curva é dada por:
Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 3, podemos encontrar um ponto na curva substituindo na equação acima.
Passo 3
Agora, precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Vamos primeiro calcular e .
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão de :
Passo 6
Agora, vamos substituir tudo na integral original. Sabemos que , então:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Portanto, a integral fica:
Essa é uma integral padrão que podemos resolver.
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
Onde é a constante de integração.
Passo 9
Aplicando os limites de integração de 0 a 3:
Resposta
A integral de linha ao longo da curva é igual a 2.