Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva C.
integralC 11+x d s
C: r(t)=t i+23 t^32 j
(0 <= t <= 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva integralC 11+x , ds . A integral que queremos resolver é:
Aqui, representa um pequeno segmento de comprimento ao longo da curva . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e a fórmula para integrais de linha em coordenadas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva r(t) = t , i + 23 t^32 , j, 0 <= t <= 3 . A curva é dada por:
Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 3, podemos encontrar um ponto na curva substituindo na equação acima.

Passo 3

Agora, precisamos expressar ds = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt em termos de . Sabemos que:
Vamos primeiro calcular e .

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt [t] = 1
dydt = ddt [ 23 t^32 ] = 23 cdot 32 t^12 = t^12

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão de ds = raiz(1)^2 + (t^12)^2 , dt = raiz1 + t , dt :

Passo 6

Agora, vamos substituir tudo na integral original. Sabemos que integralC 11+x , ds = integral0^3 11 + t cdot raiz1 + t , dt , então:
11 + t cdot raiz1 + t = raiz1 + t1 + t = 1raiz1 + t
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Portanto, a integral fica:
integral0^3 1raiz1 + t , dt
Essa é uma integral padrão que podemos resolver.

Passo 8

Vamos resolver a integral:
integral 1raiz1 + t , dt
Sabemos que:
integral 1raiz1 + t , dt = 2 raiz1 + t + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 0 a 3:
2 raiz1 + t |0^3 = 2 raiz1 + 3 - 2 raiz1 + 0 = 2 raiz4 - 2 raiz1 = 2 times 2 - 2 times 1 = 4 - 2 = 2

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a 2.

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