Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva .


Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva . A integral que queremos resolver é:
Aqui, representa um pequeno segmento de comprimento ao longo da curva . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e a fórmula para integrais de linha em coordenadas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . A curva é dada por:
Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 3, podemos encontrar um ponto na curva substituindo na equação acima.

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Vamos primeiro calcular e .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos substituir tudo na integral original. Sabemos que , então:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Portanto, a integral fica:
Essa é uma integral padrão que podemos resolver.

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 0 a 3:

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a 2.

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Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de .
Sejam uma constante e e . Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
Calcule a massa de um arame fino com o formato do arco circular , , se a função densidade for .
Confirme se é uma função potencial de .