Seja C a curva representada pelas equações
x=2 t, y=3 t^2 (0 <= t <= 1)
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de C.
integralC(x-y) d y

Passo 1

Então, a gente tem uma curva definida por e onde varia de 0 a 1. O que a gente precisa calcular é a integral de linha . Isso significa que vamos integrar a expressão em relação a ao longo dessa curva. Para fazer isso, vamos usar o conceito de integração por parametrização, onde expressamos tudo em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar dydt = 6t em função de . Sabemos que , então derivando em relação a :
Isso significa que .

Passo 3

Agora, substituímos x - y = 2t - 3t^2 e integralC(x - y) , dy = integral0^1 (2t - 3t^2) cdot 6t , dt na expressão :
Então, a integral original fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(2t - 3t^2) cdot 6t = 12t^2 - 18t^3
Então, a integral agora é:
integral0^1 (12t^2 - 18t^3) , dt

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral 12t^2 , dt = 4t^3
integral 18t^3 , dt = 184t^4 = 4.5t^4
Portanto, a integral definida fica:
4t^3 - 4.5t^4 |0^1

Passo 6

Agora, avaliamos de 0 a 1:
4(1)^3 - 4.5(1)^4 = 4 - 4.5 = -0.5

Resposta

A integral de linha ao longo de é .

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