Calcule a massa de um arame fino com o formato do arco circular , , se a função densidade for .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de um arame fino que segue o formato de um arco circular definido por no intervalo de . A função que nos dá a densidade do arame é . Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente integrais, para somar todas as pequenas partes do arame levando em conta a densidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a massa de um objeto com densidade variável. A massa ( ) pode ser calculada integrando a densidade ao longo do comprimento do arame. Matemáticamente, isso é expresso como:
Aqui, representa o caminho do arame, e é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do arame.

Passo 3

Para resolver a integral, precisamos parametrizar o arco circular. A equação dada é , que é a metade superior do círculo de raio 3 centrado na origem. Podemos considerar como a nossa variável de parâmetro, então já está definida em termos de .

Passo 4

O próximo passo é expressar em termos de . Sabemos que:
Como estamos parametrizando em termos de , podemos simplificar para:
Calculando a derivada de em relação a :
Então:
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, substituímos e na integral de massa:
Sabendo que , então , mas isso complica a integração. Para simplificar, observamos que talvez houve um equívoco na expressão da densidade. Supondo que a densidade seja , a integral ficaria mais manejável. Contudo, seguiremos com o que foi dado:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Seja , então ou . Alterando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então a integral se torna:

Passo 6

Integrando :
Então:
Sabendo que , então .
Portanto:

Resposta

A massa do arame é unidades de massa.

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Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva .


Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de .
Confirme se é uma função potencial de .

Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de .