Calcule a massa de um arame fino com o formato do arco circular
,
, se a função densidade for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de um arame fino que segue o formato de um arco circular definido por
no intervalo de
. A função que nos dá a densidade do arame é
. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente integrais, para somar todas as pequenas partes do arame levando em conta a densidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a massa de um objeto com densidade variável. A massa (
) pode ser calculada integrando a densidade ao longo do comprimento do arame. Matemáticamente, isso é expresso como:
Aqui,
representa o caminho do arame, e
é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do arame.
Passo 3
Para resolver a integral, precisamos parametrizar o arco circular. A equação dada é
, que é a metade superior do círculo de raio 3 centrado na origem. Podemos considerar
como a nossa variável de parâmetro, então
já está definida em termos de
.
Passo 4
O próximo passo é expressar
em termos de
. Sabemos que:
Como estamos parametrizando em termos de
, podemos simplificar para:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Então:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral de massa:
Sabendo que
, então
, mas isso complica a integração. Para simplificar, observamos que talvez houve um equívoco na expressão da densidade. Supondo que a densidade seja
, a integral ficaria mais manejável. Contudo, seguiremos com o que foi dado:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Seja
, então
ou
. Alterando os limites:
- Quando
, - Quando
,
Então a integral se torna:
Passo 6
Integrando
:
Então:
Sabendo que
, então
.
Portanto:
Resposta
A massa do arame é
unidades de massa.
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Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva
.
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
.
Confirme se
é uma função potencial de
.
Seja C a curva representada pelas equações
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
.