Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a) ly^prime-3 y=de
b) ly^prime prime+y=de
c) ly^prime prime+y=de
d) ly^prime prime-2 y^prime=1+de
e) ly^prime prime+4 y^prime+13 y=de
f) ly^prime prime+2 y^prime+y=de
g) ly^prime prime-7 y^prime+6 y=e^t+de

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y^prime - 3y = de
O que vamos precisar:
  • Conhecimento básico sobre Transformadas de Laplace.
  • Propriedades da Transformada de Laplace, especialmente para derivadas e funções delta de Dirac.
  • Técnicas de álgebra para rearranjar e resolver a equação transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de Ly' - 3Ly = Lde é sY(s) - y(0) - 3Y(s) = e^-2s , onde é a Transformada de Laplace de .
Aplicando a Transformada de Laplace:
Substituindo as transformadas conhecidas:

Passo 3

Sabemos que sY(s) - 0 - 3Y(s) = e^-2s , então simplificando a equação:
(s - 3)Y(s) = e^-2s

Passo 4

Agora, vamos isolar Y(s) = e^-2ss - 3 :

Passo 5

Para encontrar L^-11s - a = e^atu(t) , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-1e^-asF(s) = f(t - a)u(t - a)
E, quando temos um termo y(t) = e^3(t - 2)u(t - 2) , isso corresponde a um atraso no tempo na função inversa:
No nosso caso, e .
Então:

Passo 6

Simplificando a expressão, obtemos:
y(t) = 0, & t < 2 e^3(t - 2), & t >= 2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^3(t - 2)u(t - 2)
Isso significa que é igual a zero para e igual a para .

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial
F(x, y) = ln(y^2 + 1) i + (2y(x - 1))/(y^2 + 1) j
Determine se F é ou não conservativo.
Use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.
a) f(t)+integral0^t(t-tau) f(tau) d tau=t
b) f(t)=2 t-4 integral0^t sen tau f(t-tau) d tau
c) f(t)=t e^t+integral0^t tau f(t-tau) d tau
d) f(t)+2 integral0^t cos (t-tau) f(tau) d tau=4 e^-t+ sent
e) f(t)+integral0^t f(tau) d tau=1
f) t-2 f(t)=integral0^t(e^tau-e^-tau) f(t-tau) d tau
g) y^prime(t)=1-sen t-integral0^t y(tau) d tau, y(0)=0
h) y^prime+6 y+9 integral0^t y(tau) d tau=1, y(0)=0
i) f(t)=cos t+integral0^t e^-tau f(t-tau) d tau
Um fio tem um formato de um círculo x^2 + y^2 = a^2. Determine sua massa se a densidade no ponto (x, y) é |x| + |y|.
Calcule a integral de linha com respeito ao comprimento de arco:
integralC z d s, onde C tem equação vetorial
r(t)=t cos t i+t sin t j+t k, 0 <= t <= t0