Calcule a integral de linha usando o Teorema de Green e verifique a resposta calculando-a diretamente. (Ex 1 e 2 )
23.2.
ointc y cdot d x+x cdot d y
Onde C é o círculo unitário orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green e depois verificar esse resultado calculando a integral diretamente. O enunciado é:
ointC y cdot dx + x cdot dy
Onde é o círculo unitário orientado no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como parametrizar um círculo para calcular a integral diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla. O Teorema de Green diz que:
ointC P cdot dx + Q cdot dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
No nosso caso, partial Qpartial x = partial xpartial x = 1 e partial Ppartial y = partial ypartial y = 1 . Vamos calcular as derivadas parciais:
integral duplaD (1 - 1) , dx , dy = integral duplaD 0 , dx , dy = 0
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Então, usando o Teorema de Green, a integral de linha vale 0.

Passo 3

Agora, vamos verificar diretamente calculando a integral sem o Teorema de Green. Para isso, vamos parametrizar o círculo unitário x = cos theta .
A parametrização do círculo unitário no sentido anti-horário é:
y = sin theta
dx = -sin theta , dtheta
Onde dy = cos theta , dtheta varia de ointC y cdot dx + x cdot dy = integral0^2pi sin theta (-sin theta) + cos theta (cos theta) , dtheta a = integral0^2pi (-sin^2 theta + cos^2 theta) , dtheta .
Vamos calcular = integral0^2pi cos 2theta , dtheta e :
Substituindo na integral:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :
A integral de de a é 0, pois a função é periódica e suas áreas positivas e negativas se cancelam.

Resposta

Ambas as formas de cálculo mostram que a integral de linha vale 0.

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