Calcule a integral de linha usando o Teorema de Green e verifique a resposta calculando-a diretamente. (Ex 1 e 2 )
23.2.
Onde
é o círculo unitário orientado no sentido anti-horário.
23.2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green e depois verificar esse resultado calculando a integral diretamente. O enunciado é:
Onde
é o círculo unitário orientado no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como parametrizar um círculo para calcular a integral diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla. O Teorema de Green diz que:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Então, usando o Teorema de Green, a integral de linha vale 0.
Passo 3
Agora, vamos verificar diretamente calculando a integral sem o Teorema de Green. Para isso, vamos parametrizar o círculo unitário
.
A parametrização do círculo unitário no sentido anti-horário é:
Onde
varia de
a
.
Vamos calcular
e
:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica
:
A integral de
de
a
é 0, pois a função é periódica e suas áreas positivas e negativas se cancelam.
Resposta
Ambas as formas de cálculo mostram que a integral de linha vale 0.