Confirme que o campo de forças F é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q . (Ex 15 a 18)
21.4. F(x, y)=e^-y cdot cos (x) cdot i+e^-y cdot sen(x) cdot j ; P(pi / 2,1), Q(-pi / 2,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para confirmarmos que o campo de forças é conservativo em uma região que contém os pontos e . Depois, precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo quando uma partícula se move de até por qualquer caminho nessa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial sobre campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que . Além disso, em duas dimensões, uma condição para que o campo seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas satisfaçam .

Passo 3

Vamos identificar as componentes de F1 = e^-y cos(x) :
F2 = e^-y sin(x)
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando partialpartial y ( e^-y cos(x) ) = -e^-y cos(x) :
partialpartial x ( e^-y sin(x) ) = e^-y cos(x)
Calculando :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
partial F1partial y = -e^-y cos(x)
partial F2partial x = e^-y cos(x)
Vemos que , a menos que , o que não acontece em geral na região considerada.

Passo 6

Isso indica que, em geral, o campo não é conservativo em toda a sua região de definição. No entanto, para verificar se há uma região específica onde ele possa ser conservativo, precisamos analisar se há alguma restrição nos pontos e .

Passo 7

Observando os pontos e , note que em ambos os pontos não é zero (exceto em ), mas mesmo assim a condição geral para conservatividade não se mantém. Portanto, concluímos que o campo não é conservativo na região que contém e .

Resposta

O campo não é conservativo na região aberta conexa que contém os pontos e , portanto, não é possível calcular o trabalho realizado de forma independente do caminho escolhido.

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