Confirme que o campo de forças
é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q . (Ex 15 a 18)
21.4.
21.4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para confirmarmos que o campo de forças
é conservativo em uma região que contém os pontos
e
. Depois, precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo quando uma partícula se move de
até
por qualquer caminho nessa região. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial sobre campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Além disso, em duas dimensões, uma condição para que o campo seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas satisfaçam
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Vemos que
, a menos que
, o que não acontece em geral na região considerada.
Passo 6
Isso indica que, em geral, o campo
não é conservativo em toda a sua região de definição. No entanto, para verificar se há uma região específica onde ele possa ser conservativo, precisamos analisar se há alguma restrição nos pontos
e
.
Passo 7
Observando os pontos
e
, note que em ambos os pontos
não é zero (exceto em
), mas mesmo assim a condição geral para conservatividade não se mantém. Portanto, concluímos que o campo
não é conservativo na região que contém
e
.
Resposta
O campo
não é conservativo na região aberta conexa que contém os pontos
e
, portanto, não é possível calcular o trabalho realizado de forma independente do caminho escolhido.