Suponha que uma partícula se mova através do campo de forças F(x, y) = x * y * i + (x - y) * j do ponto ( 0,0 ) para o ponto (1,0), ao longo da curva x = t, y = lambda * t * (1 - t). Com qual valor de lambda o trabalho realizado pelo campo de forças será igual a 1? (Ex 55)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma partícula que se move de até num campo de forças dado por . A trajetória que a partícula segue é e , onde varia de 0 a 1. A pergunta é: qual o valor de que faz o trabalho realizado pelo campo de forças ser igual a 1?
Pra resolver isso, vamos precisar entender o conceito de trabalho realizado por um campo de forças ao longo de um trajeto, que envolve cálculo de integrais de linha. A gente vai precisar parametrizar a trajetória, substituir na expressão do campo de forças, calcular o produto escalar com o diferencial do deslocamento e integrar esse resultado de 0 a 1. No final, igualamos a integral a 1 e resolvemos para .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. A trajetória já está dada em termos de :
Onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor deslocamento em termos de . Para isso, derivamos e em relação a :
Então, o vetor fica:

Passo 4

Vamos agora substituir e na expressão do campo de forças :
Substituindo:

Passo 5

O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da trajetória é dado pela integral de linha:
Com a parametrização em , isso se torna:
Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, distribua nos termos dentro dos colchetes:
Agora, expandimos cada termo:

Passo 7

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo de de 0 a 1:
Integrando termo a termo:

Passo 9

Simplificando cada termo:
Vamos encontrar um denominador comum, que é 12:

Passo 10

Sabemos que o trabalho deve ser igual a 1:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que faz o trabalho realizado pelo campo de forças ser igual a 1 é .

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