Suponha que uma partícula se mova através do campo de forças
do ponto ( 0,0 ) para o ponto (1,0), ao longo da curva
. Com qual valor de
o trabalho realizado pelo campo de forças será igual a 1? (Ex 55)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma partícula que se move de
até
num campo de forças dado por
. A trajetória que a partícula segue é
e
, onde
varia de 0 a 1. A pergunta é: qual o valor de
que faz o trabalho realizado pelo campo de forças ser igual a 1?
Pra resolver isso, vamos precisar entender o conceito de trabalho realizado por um campo de forças ao longo de um trajeto, que envolve cálculo de integrais de linha. A gente vai precisar parametrizar a trajetória, substituir na expressão do campo de forças, calcular o produto escalar com o diferencial do deslocamento e integrar esse resultado de 0 a 1. No final, igualamos a integral a 1 e resolvemos para
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. A trajetória já está dada em termos de
:
Onde
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor deslocamento
em termos de
. Para isso, derivamos
e
em relação a
:
Então, o vetor
fica:
Passo 4
Vamos agora substituir
e
na expressão do campo de forças
:
Substituindo:
Passo 5
O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da trajetória é dado pela integral de linha:
Com a parametrização em
, isso se torna:
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, distribua
nos termos dentro dos colchetes:
Agora, expandimos cada termo:
Passo 7
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo de
de 0 a 1:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Simplificando cada termo:
Vamos encontrar um denominador comum, que é 12:
Passo 10
Sabemos que o trabalho
deve ser igual a 1:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que faz o trabalho realizado pelo campo de forças ser igual a 1 é
.