Seja C a fronteira da região delimitada por y=x^2 e y=2 cdot x. Supondo que C esteja orientada no sentido anti-horário, calcule as integrais seguintes usando o Teorema de Green: (Ex 14)
25.2.
ointc(6 cdot x cdot y-y^2) cdot d y

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo! A gente tem uma curva ointC(6 cdot x cdot y - y^2) cdot d y que é a fronteira da região delimitada pelas funções e . A curva está orientada no sentido anti-horário. O que precisamos calcular é a integral de linha:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva delimita. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para transformar a integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Onde:
  • é a curva fechada orientada no sentido anti-horário.
  • é a região delimitada por .
  • e são funções de e .
No nosso caso, a integral de linha é apenas em , então podemos considerar e .

Passo 3

Aplicando o Teorema de Green, nossa integral fica:
ointC (6xy - y^2) dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Como integral duplaD partial Qpartial x , dA , temos . Então, a expressão simplifica para:
Agora, vamos calcular .

Passo 4

Calculando a derivada parcial de Q = 6xy - y^2 em relação a partial Qpartial x = 6y :
integral duplaD 6y , dA
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região x^2 = 2x . A região é delimitada por x^2 - 2x = 0 (uma parábola) e x(x - 2) = 0 (uma reta). Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites.
Igualando as duas equações:
[
x^{2} - 2x = 0
]
[
x(x - 2) = 0
]
Então, e .
Portanto, a região se estende de a . Para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla com os limites encontrados:
integral duplaD 6y , dA = integralx=0^2 integraly=x^2^2x 6y , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, onde varia de a .

Passo 7

Calculando a integral interna:
integraly=x^2^2x 6y , dy
A antiderivada de 3y^2 |x^2^2x = 3(2x)^2 - 3(x^2)^2 = 3(4x^2) - 3x^4 = 12x^2 - 3x^4 em relação a integral0^2 (12x^2 - 3x^4) , dx é . Então:
Agora, substituímos na integral externa:

Passo 8

Vamos resolver a integral externa:
integral0^2 (12x^2 - 3x^4) , dx
Calculamos as antiderivadas separadamente:
integral 12x^2 , dx = 4x^3
integral -3x^4 , dx = -35x^5
Então:
4x^3 - 35x^5 |0^2
Substituindo 4(2)^3 - 35(2)^5 = 4(8) - 35(32) = 32 - 965 = 1605 - 965 = 645 :
4(0)^3 - 35(0)^5 = 0
Substituindo 645 - 0 = 645 :
Então, a integral total é:

Resposta

A integral é igual a .

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