Seja a fronteira da região delimitada por e . Supondo que esteja orientada no sentido anti-horário, calcule as integrais seguintes usando o Teorema de Green: (Ex 14)
25.2.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo! A gente tem uma curva que é a fronteira da região delimitada pelas funções e . A curva está orientada no sentido anti-horário. O que precisamos calcular é a integral de linha:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva delimita. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para transformar a integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
Onde:
é a curva fechada orientada no sentido anti-horário.
é a região delimitada por .
e são funções de e .
No nosso caso, a integral de linha é apenas em , então podemos considerar e .
Passo 3
Aplicando o Teorema de Green, nossa integral fica:
Como , temos . Então, a expressão simplifica para:
Agora, vamos calcular .
Passo 4
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região . A região é delimitada por (uma parábola) e (uma reta). Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites.
Igualando as duas equações:
[
x^{2} - 2x = 0
]
[
x(x - 2) = 0
]
Então, e .
Portanto, a região se estende de a . Para cada nesse intervalo, varia de até .
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla com os limites encontrados:
Vamos resolver a integral interna primeiro, onde varia de a .